Dengan menggunakan garis selidik, tentukan nilai maksimum

Nilai maksimumnya adalah 16.

Pembahasan

Kita perlu menentukan nilai maksimum dari fungsi tujuan 4x + 2y pada daerah himpunan penyelesaian yang dibatasi oleh:
x >= 1
y <= 6
x + 4y >= 11
2x + y <= 8
untuk x, y adalah bilangan real (e R).

Langkah 1: Gambarkan daerah himpunan penyelesaian (DHP).
Kita perlu mencari titik potong dari garis-garis pembatas:

1. x = 1 (garis vertikal)
2. y = 6 (garis horizontal)
3. x + 4y = 11
4. 2x + y = 8

Titik potong antara garis 3 dan 4:
Dari garis 4, y = 8 - 2x.
Substitusikan ke garis 3:
x + 4(8 - 2x) = 11
x + 32 - 8x = 11
-7x = 11 - 32
-7x = -21
x = 3

Jika x = 3, maka y = 8 - 2(3) = 8 - 6 = 2.
Jadi, titik potong garis 3 dan 4 adalah (3, 2).

Kita juga perlu memeriksa titik potong lain yang relevan:
- Potong x=1 dengan x+4y=11: 1 + 4y = 11 => 4y = 10 => y = 2.5. Titik (1, 2.5).
- Potong x=1 dengan 2x+y=8: 2(1) + y = 8 => y = 6. Titik (1, 6).
- Potong y=6 dengan x+4y=11: x + 4(6) = 11 => x + 24 = 11 => x = -13 (tidak dalam DHP karena x>=1).
- Potong y=6 dengan 2x+y=8: 2x + 6 = 8 => 2x = 2 => x = 1. Titik (1, 6).

Titik-titik sudut DHP yang memenuhi semua syarat adalah:
- Titik A: Perpotongan x=1 dan x+4y=11. Substitusi x=1 ke x+4y=11 --> 1+4y=11 --> 4y=10 --> y=2.5. Titik A (1, 2.5).
- Titik B: Perpotongan x=1 dan 2x+y=8. Substitusi x=1 ke 2x+y=8 --> 2(1)+y=8 --> y=6. Titik B (1, 6).
- Titik C: Perpotongan x+4y=11 dan 2x+y=8. Kita temukan titik potongnya adalah (3, 2). Titik C (3, 2).

Langkah 2: Uji titik-titik sudut pada fungsi tujuan 4x + 2y.
- Di Titik A (1, 2.5):
  4(1) + 2(2.5) = 4 + 5 = 9
- Di Titik B (1, 6):
  4(1) + 2(6) = 4 + 12 = 16
- Di Titik C (3, 2):
  4(3) + 2(2) = 12 + 4 = 16

Nilai maksimum terjadi pada titik (1, 6) dan (3, 2) dengan nilai 16.

Oleh karena itu, nilai maksimum 4x + 2y pada daerah himpunan penyelesaian yang diberikan adalah 16.