Dengan menggunakan sudut theta=30, tunjukkan bahwa:a. tan

Semua identitas trigonometri terbukti benar untuk \(\theta = 30^\circ\).

Pembahasan

Kita akan membuktikan identitas trigonometri yang diberikan dengan menggunakan sudut \(\theta = 30^\circ\).

Diketahui \(\theta = 30^\circ
\sin \theta = \sin 30^\circ = 1/2
\cos \theta = \cos 30^\circ = \sqrt{3}/2
\tan \theta = \tan 30^\circ = 1/\sqrt{3} = \sqrt{3}/3
\sec \theta = 1/\cos \theta = 1/(\sqrt{3}/2) = 2/\sqrt{3} = 2\sqrt{3}/3

a. Buktikan \(\tan \theta = \sin \theta / \cos \theta\)
Sisi kanan: \(\sin \theta / \cos \theta = (1/2) / (\sqrt{3}/2) = 1/2 \times 2/\sqrt{3} = 1/\sqrt{3}\).
Sisi kiri: \(\tan \theta = 1/\sqrt{3}\).
Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan (\(1/\sqrt{3} = 1/\sqrt{3}\)), maka \(\tan \theta = \sin \theta / \cos \theta\) terbukti benar untuk \(\theta = 30^\circ\).

b. Buktikan \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
\(\sin^2 \theta = (1/2)^2 = 1/4
\cos^2 \theta = (\sqrt{3}/2)^2 = 3/4
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1\).
Karena hasil penjumlahannya adalah 1, maka \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) terbukti benar untuk \(\theta = 30^\circ\).

c. Buktikan \(1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\)
\(\tan^2 \theta = (1/\sqrt{3})^2 = 1/3
\sec^2 \theta = (2/\sqrt{3})^2 = 4/3
1 + \tan^2 \theta = 1 + 1/3 = 3/3 + 1/3 = 4/3\).
Karena \(1 + \tan^2 \theta = 4/3\) dan \(\sec^2 \theta = 4/3\), maka \(1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\) terbukti benar untuk \(\theta = 30^\circ\).