Diberikan B=(cos theta -sin theta sin theta b) . Jika

b = cos θ

Pembahasan

Untuk mencari nilai b, kita perlu memahami kondisi B^(-1) = B^T. Matriks B diberikan sebagai:

B = [[cos θ, -sin θ],
     [sin θ, b]]

Matriks invers B^(-1) dan transpos B^T adalah:

B^T = [[cos θ, sin θ],
       [-sin θ, b]]

Untuk B^(-1) = B^T, determinan dari B harus sama dengan 1 atau -1. Determinan B adalah (b * cos θ) - (-sin θ * sin θ) = b cos θ + sin^2 θ.

Kita tahu bahwa untuk matriks rotasi [[cos θ, -sin θ], [sin θ, cos θ]], inversnya sama dengan transposnya. Dalam kasus ini, matriks B memiliki elemen -sin θ di posisi (1,2) dan sin θ di posisi (2,1), yang merupakan ciri khas matriks rotasi jika b = cos θ.

Jika B^(-1) = B^T, maka B harus merupakan matriks ortogonal. Untuk matriks 2x2 [[a, b], [c, d]], agar ortogonal, berlaku:
1. a^2 + c^2 = 1
2. b^2 + d^2 = 1
3. ab + cd = 0
4. ac + bd = 0

Menerapkan pada matriks B:
1. cos^2 θ + sin^2 θ = 1 (Ini selalu benar)
2. (-sin θ)^2 + b^2 = 1 => sin^2 θ + b^2 = 1
3. cos θ * (-sin θ) + sin θ * b = 0 => -sin θ cos θ + b sin θ = 0 => sin θ (b - cos θ) = 0
4. cos θ * sin θ + (-sin θ) * b = 0 => sin θ cos θ - b sin θ = 0 => sin θ (cos θ - b) = 0

Dari kondisi 3 atau 4, jika sin θ ≠ 0, maka b = cos θ. Jika kita substitusikan b = cos θ ke kondisi 2, kita mendapatkan sin^2 θ + cos^2 θ = 1, yang juga selalu benar.

Jadi, nilai b adalah cos θ.