Diberikan bahwa k adalah bilangan bulat positif yang

k = 925

Pembahasan

Misalkan tiga bilangan yang kuadratnya membentuk barisan aritmatika adalah a-d, a, dan a+d.

Diketahui bahwa 36+k, 300+k, dan 596+k adalah kuadrat dari tiga bilangan yang membentuk barisan aritmatika. Maka, kita dapat menuliskan:
(a-d)^2 = 36+k
a^2 = 300+k
(a+d)^2 = 596+k

Karena ketiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika, maka selisih antara suku-suku berurutan adalah sama. Dengan kata lain:
a^2 - (a-d)^2 = (a+d)^2 - a^2

Kita juga bisa menggunakan sifat barisan aritmatika pada kuadratnya:
(300+k) - (36+k) = (596+k) - (300+k)
300 + k - 36 - k = 596 + k - 300 - k
264 = 296
Ini menunjukkan bahwa asumsi awal kita bahwa kuadrat dari tiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika secara langsung adalah salah. Seharusnya, tiga bilangan tersebut yang membentuk barisan aritmatika, katakanlah x, y, z, sehingga x^2 = 36+k, y^2 = 300+k, dan z^2 = 596+k, dan x, y, z membentuk barisan aritmatika.

Karena x, y, z membentuk barisan aritmatika, maka y-x = z-y, atau 2y = x+z.

Kita punya:
y^2 - x^2 = (300+k) - (36+k) = 264
z^2 - y^2 = (596+k) - (300+k) = 296

Maka:
(y-x)(y+x) = 264
(z-y)(z+y) = 296

Karena y-x = z-y = d (beda barisan aritmatika), maka:
d(y+x) = 264
d(z+y) = 296

Bagi kedua persamaan:
(z+y) / (y+x) = 296 / 264 = 37 / 33
33(z+y) = 37(y+x)
33z + 33y = 37y + 37x
33z - 37x = 4y

Kita tahu bahwa y = x+d, z = y+d = x+2d.
Substitusikan ke dalam 33z - 37x = 4y:
33(x+2d) - 37x = 4(x+d)
33x + 66d - 37x = 4x + 4d
-4x + 66d = 4x + 4d
62d = 8x
31d = 4x
x = 31d/4

Sekarang substitusikan x dan z ke dalam 2y = x+z:
2(x+d) = x + (x+2d)
2x + 2d = 2x + 2d
Ini adalah identitas, jadi tidak membantu menemukan nilai spesifik.

Mari kembali ke y^2 - x^2 = 264 dan z^2 - y^2 = 296.
Kita memiliki:
(y-x)(y+x) = 264
(z-y)(z+y) = 296

Misalkan beda barisan aritmatikanya adalah d. Maka y = x+d dan z = y+d = x+2d.
Substitusikan ini ke dalam persamaan gradien:
(x+d)^2 - x^2 = 264  => x^2 + 2xd + d^2 - x^2 = 264 => 2xd + d^2 = 264
(x+2d)^2 - (x+d)^2 = 296 => (x^2 + 4xd + 4d^2) - (x^2 + 2xd + d^2) = 296 => 2xd + 3d^2 = 296

Sekarang kita punya sistem dua persamaan dengan dua variabel x dan d:
1) 2xd + d^2 = 264
2) 2xd + 3d^2 = 296

Kurangi persamaan (1) dari persamaan (2):
(2xd + 3d^2) - (2xd + d^2) = 296 - 264
2d^2 = 32
d^2 = 16
d = ±4

Karena k adalah bilangan bulat positif, kita perlu memeriksa nilai d. Mari kita ambil d=4.
Substitusikan d=4 ke persamaan (1):
2x(4) + (4)^2 = 264
8x + 16 = 264
8x = 248
x = 31

Sekarang kita punya x=31 dan d=4. Tiga bilangan tersebut adalah:
x = 31
y = x+d = 31+4 = 35
z = y+d = 35+4 = 39

Mari kita cek kuadratnya:
x^2 = 31^2 = 961
y^2 = 35^2 = 1225
z^2 = 39^2 = 1521

Periksa apakah ini sesuai dengan 36+k, 300+k, 596+k:
36+k = 961 => k = 961 - 36 = 925
300+k = 1225 => k = 1225 - 300 = 925
596+k = 1521 => k = 1521 - 596 = 925

Nilai k konsisten, yaitu 925. Karena k=925 adalah bilangan bulat positif, ini adalah jawaban yang benar.

Jika kita mengambil d=-4:
Substitusikan d=-4 ke persamaan (1):
2x(-4) + (-4)^2 = 264
-8x + 16 = 264
-8x = 248
x = -31

Tiga bilangan tersebut adalah:
x = -31
y = x+d = -31 + (-4) = -35
z = y+d = -35 + (-4) = -39

Periksa kuadratnya:
x^2 = (-31)^2 = 961
y^2 = (-35)^2 = 1225
z^2 = (-39)^2 = 1521

Nilai k yang didapat tetap sama: 925.

Jadi, nilai k adalah 925.