Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathAljabar

Diberikan bahwa k adalah bilangan bulat positif yang

Pertanyaan

Diberikan bahwa k adalah bilangan bulat positif yang memenuhi 36+k, 300+k, 596+k adalah kuadrat dari tiga bilangan yang membentuk barisan aritmatika. Tentukan nilai k.

Solusi

Verified

k = 925

Pembahasan

Misalkan tiga bilangan yang kuadratnya membentuk barisan aritmatika adalah a-d, a, dan a+d. Diketahui bahwa 36+k, 300+k, dan 596+k adalah kuadrat dari tiga bilangan yang membentuk barisan aritmatika. Maka, kita dapat menuliskan: (a-d)^2 = 36+k a^2 = 300+k (a+d)^2 = 596+k Karena ketiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika, maka selisih antara suku-suku berurutan adalah sama. Dengan kata lain: a^2 - (a-d)^2 = (a+d)^2 - a^2 Kita juga bisa menggunakan sifat barisan aritmatika pada kuadratnya: (300+k) - (36+k) = (596+k) - (300+k) 300 + k - 36 - k = 596 + k - 300 - k 264 = 296 Ini menunjukkan bahwa asumsi awal kita bahwa kuadrat dari tiga bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika secara langsung adalah salah. Seharusnya, tiga bilangan tersebut yang membentuk barisan aritmatika, katakanlah x, y, z, sehingga x^2 = 36+k, y^2 = 300+k, dan z^2 = 596+k, dan x, y, z membentuk barisan aritmatika. Karena x, y, z membentuk barisan aritmatika, maka y-x = z-y, atau 2y = x+z. Kita punya: y^2 - x^2 = (300+k) - (36+k) = 264 z^2 - y^2 = (596+k) - (300+k) = 296 Maka: (y-x)(y+x) = 264 (z-y)(z+y) = 296 Karena y-x = z-y = d (beda barisan aritmatika), maka: d(y+x) = 264 d(z+y) = 296 Bagi kedua persamaan: (z+y) / (y+x) = 296 / 264 = 37 / 33 33(z+y) = 37(y+x) 33z + 33y = 37y + 37x 33z - 37x = 4y Kita tahu bahwa y = x+d, z = y+d = x+2d. Substitusikan ke dalam 33z - 37x = 4y: 33(x+2d) - 37x = 4(x+d) 33x + 66d - 37x = 4x + 4d -4x + 66d = 4x + 4d 62d = 8x 31d = 4x x = 31d/4 Sekarang substitusikan x dan z ke dalam 2y = x+z: 2(x+d) = x + (x+2d) 2x + 2d = 2x + 2d Ini adalah identitas, jadi tidak membantu menemukan nilai spesifik. Mari kembali ke y^2 - x^2 = 264 dan z^2 - y^2 = 296. Kita memiliki: (y-x)(y+x) = 264 (z-y)(z+y) = 296 Misalkan beda barisan aritmatikanya adalah d. Maka y = x+d dan z = y+d = x+2d. Substitusikan ini ke dalam persamaan gradien: (x+d)^2 - x^2 = 264 => x^2 + 2xd + d^2 - x^2 = 264 => 2xd + d^2 = 264 (x+2d)^2 - (x+d)^2 = 296 => (x^2 + 4xd + 4d^2) - (x^2 + 2xd + d^2) = 296 => 2xd + 3d^2 = 296 Sekarang kita punya sistem dua persamaan dengan dua variabel x dan d: 1) 2xd + d^2 = 264 2) 2xd + 3d^2 = 296 Kurangi persamaan (1) dari persamaan (2): (2xd + 3d^2) - (2xd + d^2) = 296 - 264 2d^2 = 32 d^2 = 16 d = ±4 Karena k adalah bilangan bulat positif, kita perlu memeriksa nilai d. Mari kita ambil d=4. Substitusikan d=4 ke persamaan (1): 2x(4) + (4)^2 = 264 8x + 16 = 264 8x = 248 x = 31 Sekarang kita punya x=31 dan d=4. Tiga bilangan tersebut adalah: x = 31 y = x+d = 31+4 = 35 z = y+d = 35+4 = 39 Mari kita cek kuadratnya: x^2 = 31^2 = 961 y^2 = 35^2 = 1225 z^2 = 39^2 = 1521 Periksa apakah ini sesuai dengan 36+k, 300+k, 596+k: 36+k = 961 => k = 961 - 36 = 925 300+k = 1225 => k = 1225 - 300 = 925 596+k = 1521 => k = 1521 - 596 = 925 Nilai k konsisten, yaitu 925. Karena k=925 adalah bilangan bulat positif, ini adalah jawaban yang benar. Jika kita mengambil d=-4: Substitusikan d=-4 ke persamaan (1): 2x(-4) + (-4)^2 = 264 -8x + 16 = 264 -8x = 248 x = -31 Tiga bilangan tersebut adalah: x = -31 y = x+d = -31 + (-4) = -35 z = y+d = -35 + (-4) = -39 Periksa kuadratnya: x^2 = (-31)^2 = 961 y^2 = (-35)^2 = 1225 z^2 = (-39)^2 = 1521 Nilai k yang didapat tetap sama: 925. Jadi, nilai k adalah 925.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Persamaan Kuadrat, Barisan Aritmatika
Section: Sifat Barisan Aritmatika, Aplikasi Barisan Aritmatika

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...