Diberikan fungsi y=sin x dan fungsi y = sin^2 x. Tentukan

Kedua fungsi naik pada interval (2kπ, 2kπ + π/2), k ∈ ℤ.

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana kedua grafik fungsi y = sin x dan y = sin^2 x sama-sama naik, kita perlu memeriksa turunan dari masing-masing fungsi.

Turunan dari y = sin x adalah y' = cos x.
Turunan dari y = sin^2 x adalah y' = 2 sin x cos x = sin(2x).

Kedua fungsi dikatakan naik jika turunannya positif.

Untuk y = sin x naik, maka cos x > 0. Ini terjadi pada interval:
(-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ), di mana k adalah bilangan bulat.

Untuk y = sin^2 x naik, maka sin(2x) > 0. Ini terjadi ketika:
0 < 2x < π + 2kπ
0 < x < π/2 + kπ

Kita perlu mencari interval di mana kedua kondisi terpenuhi secara bersamaan. Mari kita periksa interval-interval utama:

1. Interval (0, π/2):
   - cos x > 0 (sin x naik)
   - sin(2x) > 0 (sin^2 x naik)
   Kedua fungsi naik di interval ini.

2. Interval (π/2, π):
   - cos x < 0 (sin x turun)
   - sin(2x) < 0 (sin^2 x turun)
   Kedua fungsi turun di interval ini.

3. Interval (π, 3π/2):
   - cos x < 0 (sin x turun)
   - sin(2x) > 0 (sin^2 x naik)
   Fungsi tidak sama-sama naik.

4. Interval (3π/2, 2π):
   - cos x > 0 (sin x naik)
   - sin(2x) < 0 (sin^2 x turun)
   Fungsi tidak sama-sama naik.

Menggabungkan hasil di atas dan mempertimbangkan periodisitas, kedua fungsi y = sin x dan y = sin^2 x sama-sama naik pada interval:
(2kπ - π/2, 2kπ + π/2) untuk y = sin x
dan
(kπ, kπ + π/2) untuk y = sin^2 x

Interval di mana keduanya sama-sama naik adalah irisan dari kedua kondisi tersebut. Perhatikan bahwa sin(2x) = 2 sin x cos x. Agar sin^2 x naik, sin x dan cos x harus memiliki tanda yang sama (keduanya positif atau keduanya negatif).

- Jika sin x > 0 dan cos x > 0 (sin x naik), maka sin^2 x juga naik.
  Ini terjadi pada interval (2kπ, 2kπ + π/2).
- Jika sin x < 0 dan cos x < 0 (sin x turun), maka sin^2 x naik.
  Ini terjadi pada interval (π + 2kπ, 3π/2 + 2kπ).

Namun, kita mencari di mana KEDUA fungsi naik. Ini hanya terjadi ketika cos x > 0 DAN sin x > 0. Kondisi ini terpenuhi pada interval:
(2kπ, 2kπ + π/2).

Jadi, interval di mana kedua grafik fungsi tersebut sama-sama naik adalah (2kπ, 2kπ + π/2), di mana k adalah bilangan bulat.