Diketahui 2log3=a, maka 27log36=

Hasilnya adalah (2+2a)/(3a).

Pembahasan

Diketahui $^2\log 3 = a$. Kita ingin mencari nilai dari $^{27}\log 36$.

Kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma, terutama perubahan basis logaritma.
Sifat perubahan basis: $^b\log x = \frac{^c\log x}{^c\log b}$.

Kita ingin mengubah basis 27 menjadi basis 2 atau basis 3 agar bisa menggunakan informasi yang diberikan ($^2\log 3 = a$). Lebih mudah menggunakan basis 3.

Pertama, ubah basis 27 menjadi basis 3:
$^27\log 36 = \frac{^3\log 36}{^3\log 27}$

Kita tahu bahwa $^3\log 27 = 3$ karena $3^3 = 27$.

Sekarang kita perlu mencari $^3\log 36$. Kita bisa faktorkan 36 menjadi $4 	imes 9 = 2^2 	imes 3^2$.
$^3\log 36 = ^3\log (2^2 	imes 3^2)$

Menggunakan sifat logaritma $^c\log (xy) = ^c\log x + ^c\log y$:
$^3\log (2^2 	imes 3^2) = ^3\log (2^2) + ^3\log (3^2)$

Menggunakan sifat logaritma $^c\log x^p = p 	imes ^c\log x$:
$= 2 	imes ^3\log 2 + 2 	imes ^3\log 3$

Kita tahu bahwa $^3\log 3 = 1$.
$= 2 	imes ^3\log 2 + 2 	imes 1$
$= 2 	imes ^3\log 2 + 2$

Sekarang kita perlu mengubah $^3\log 2$ menjadi bentuk yang melibatkan $^2\log 3 = a$. Kita bisa gunakan sifat perubahan basis lagi:
$^3\log 2 = \frac{^2\log 2}{^2\log 3}$

Kita tahu bahwa $^2\log 2 = 1$.
$^3\log 2 = \frac{1}{^2\log 3}$

Karena $^2\log 3 = a$, maka:
$^3\log 2 = \frac{1}{a}$

Substitusikan kembali ke ekspresi untuk $^3\log 36$:
$^3\log 36 = 2 	imes (\frac{1}{a}) + 2 = \frac{2}{a} + 2 = \frac{2+2a}{a}$

Terakhir, substitusikan nilai $^3\log 36$ dan $^3\log 27$ ke dalam persamaan awal untuk $^{27}\log 36$:
$^27\log 36 = \frac{^3\log 36}{^3\log 27} = \frac{\frac{2+2a}{a}}{3}$

$= \frac{2+2a}{3a}$

Jadi, jika $^2\log 3 = a$, maka $^{27}\log 36 = \frac{2+2a}{3a}$.