Persamaan peta garis 3x-4y-12=0 karena refleksi terhadap

$x - 11y + 24 = 0$

Pembahasan

Persamaan garis yang diberikan adalah $3x - 4y - 12 = 0$.
Transformasi yang dilakukan adalah refleksi terhadap garis $y=x$, dilanjutkan dengan transformasi matriks $egin{pmatrix} -3 & 5 \ -1 & 1 
end{pmatrix}$.

1. **Refleksi terhadap garis y=x:**
Matriks transformasi untuk refleksi terhadap garis $y=x$ adalah $egin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 
end{pmatrix}$.
Jika titik $(x, y)$ direfleksikan terhadap garis $y=x$, bayangannya adalah $(x', y') = (y, x)$.
Artinya, $x' = y$ dan $y' = x$. Dari sini, kita dapatkan $x = y'$ dan $y = x'$.
Substitusikan $x=y'$ dan $y=x'$ ke dalam persamaan garis awal:
$3(y') - 4(x') - 12 = 0$
$-4x' + 3y' - 12 = 0$
Persamaan garis setelah refleksi adalah $-4x + 3y - 12 = 0$.

2. **Transformasi oleh matriks $egin{pmatrix} -3 & 5 \ -1 & 1 
end{pmatrix}$:**
Misalkan titik pada garis hasil refleksi adalah $(x, y)$, dan bayangannya setelah transformasi matriks adalah $(x'', y'')$.
$egin{pmatrix} x'' \ y'' 
end{pmatrix} = egin{pmatrix} -3 & 5 \ -1 & 1 
end{pmatrix} egin{pmatrix} x \ y 
end{pmatrix}$
Ini memberikan sistem persamaan:
$x'' = -3x + 5y$
$y'' = -x + y$
Kita perlu mencari hubungan antara $x, y$ dari persamaan garis hasil refleksi ($-4x + 3y - 12 = 0$) dan persamaan transformasi matriks. Untuk itu, kita ekspresikan $x$ dan $y$ dalam bentuk $x''$ dan $y''$.
Dari persamaan kedua ($y'' = -x + y$), kita dapatkan $x = y - y''$.
Substitusikan $x$ ke dalam persamaan pertama:
$x'' = -3(y - y'') + 5y$
$x'' = -3y + 3y'' + 5y$
$x'' = 2y + 3y''$
Sekarang kita punya $x = y - y''$ dan $2y = x'' - 3y''$, sehingga $y = rac{1}{2}(x'' - 3y'')$.
Sekarang substitusikan $x$ dan $y$ ke dalam persamaan garis hasil refleksi ($-4x + 3y - 12 = 0$):
$-4(y - y'') + 3(rac{1}{2}(x'' - 3y'')) - 12 = 0$
$-4y + 4y'' + rac{3}{2}x'' - rac{9}{2}y'' - 12 = 0$
Kalikan seluruh persamaan dengan 2 untuk menghilangkan pecahan:
$-8y + 8y'' + 3x'' - 9y'' - 24 = 0$
$3x'' - y'' - 8y - 24 = 0$
Karena $y = x'$, kita substitusikan kembali $y$ dengan $x$ pada persamaan ini untuk mendapatkan persamaan akhir dalam variabel $x$ dan $y$: Sebenarnya kita perlu mengekspresikan $x$ dan $y$ (dari garis hasil refleksi) dalam $x''$ dan $y''$ lalu substitusikan ke persamaan garis hasil refleksi.

Mari kita gunakan pendekatan yang berbeda dengan mengalikan matriks transformasi dengan vektor posisi $(x, y)$:
$egin{pmatrix} x' \ y' 
end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 
end{pmatrix} egin{pmatrix} x \ y 
end{pmatrix} = egin{pmatrix} y \ x 
end{pmatrix}$ 
Ini adalah titik setelah refleksi.
Sekarang transformasikan titik $(y, x)$ dengan matriks kedua:
$egin{pmatrix} x'' \ y'' 
end{pmatrix} = egin{pmatrix} -3 & 5 \ -1 & 1 
end{pmatrix} egin{pmatrix} y \ x 
end{pmatrix} = egin{pmatrix} -3y + 5x \ -y + x 
end{pmatrix}$
Dari sini kita dapatkan:
$x'' = 5x - 3y$
$y'' = x - y$
Kita perlu menyatakan $x$ dan $y$ dalam $x''$ dan $y''$ untuk disubstitusikan ke persamaan awal $3x - 4y - 12 = 0$.
Dari $y'' = x - y$, kita dapatkan $y = x - y''$.
Substitusikan $y$ ke persamaan pertama:
$x'' = 5x - 3(x - y'')$
$x'' = 5x - 3x + 3y''$
$x'' = 2x + 3y''$
$2x = x'' - 3y''$
$x = rac{1}{2}(x'' - 3y'')$
Sekarang kita punya $x = rac{1}{2}(x'' - 3y'')$ dan $y = x - y'' = rac{1}{2}(x'' - 3y'') - y'' = rac{1}{2}x'' - rac{3}{2}y'' - y'' = rac{1}{2}x'' - rac{5}{2}y'' = rac{1}{2}(x'' - 5y'')$.
Substitusikan $x$ dan $y$ ke dalam persamaan garis awal $3x - 4y - 12 = 0$:
$3(rac{1}{2}(x'' - 3y'')) - 4(rac{1}{2}(x'' - 5y'')) - 12 = 0$
$rac{3}{2}(x'' - 3y'') - 2(x'' - 5y'') - 12 = 0$
Kalikan dengan 2 untuk menghilangkan pecahan:
$3(x'' - 3y'') - 4(x'' - 5y'') - 24 = 0$
$3x'' - 9y'' - 4x'' + 20y'' - 24 = 0$
$(3x'' - 4x'') + (-9y'' + 20y'') - 24 = 0$
$-x'' + 11y'' - 24 = 0$
$x'' - 11y'' + 24 = 0$

Jadi, persamaan peta garis tersebut adalah $x - 11y + 24 = 0$.