Diketahui ekspresi: limit x -> 5

Nilai g'(5) adalah 0.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menganalisis ekspresi limit yang diberikan: limit x -> 5 (f(x).g(x)-3g(x)+f(x)-3)/(f(x)-3).(x-5)=0

Langkah 1: Faktorkan ekspresi di pembilang.
Pembilang: f(x).g(x) - 3g(x) + f(x) - 3 dapat difaktorkan menjadi (f(x) - 3)(g(x) + 1).

Langkah 2: Substitusikan hasil faktorisasi ke dalam ekspresi limit.
limit x -> 5 [(f(x) - 3)(g(x) + 1)] / [(f(x) - 3)(x - 5)] = 0

Langkah 3: Sederhanakan ekspresi limit.
Karena f(x) - 3 muncul di pembilang dan penyebut, kita dapat mencoretnya (dengan asumsi f(x) - 3 ≠ 0).
limit x -> 5 (g(x) + 1) / (x - 5) = 0

Langkah 4: Analisis kembali ekspresi yang disederhanakan.
Agar limit ini bernilai 0, pembilangnya harus mendekati 0 lebih cepat daripada penyebutnya, atau pembilangnya harus konstan 0. Jika kita substitusikan x = 5 ke dalam penyebut, kita mendapatkan 5 - 5 = 0.

Untuk limit berbentuk L = limit x->c [h(x) / k(x)], jika k(c) = 0, maka agar L berhingga (dalam kasus ini 0), h(c) juga harus 0. Maka, g(5) + 1 = 0, yang berarti g(5) = -1.

Namun, ekspresi setelah penyederhanaan adalah limit x -> 5 (g(x) + 1) / (x - 5) = 0. Ini menyiratkan bahwa g(x) + 1 harus memiliki faktor (x-5) agar limitnya menjadi konstanta atau nol ketika penyebutnya adalah (x-5). Ini tidak mungkin terjadi kecuali g(x)+1 adalah fungsi konstan nol, yang akan membuat g(x) = -1.

Mari kita tinjau kembali faktorisasi pembilang: f(x).g(x) - 3g(x) + f(x) - 3 = g(x)(f(x) - 3) + 1(f(x) - 3) = (f(x) - 3)(g(x) + 1).

Jadi, limitnya menjadi:
limit x -> 5 [(f(x) - 3)(g(x) + 1)] / [(f(x) - 3)(x - 5)] = 0

Jika kita mengasumsikan f(x) - 3 ≠ 0 di sekitar x = 5, kita dapat menyederhanakannya menjadi:
limit x -> 5 (g(x) + 1) / (x - 5) = 0

Agar limit ini bernilai 0, dan penyebutnya mendekati 0 ketika x mendekati 5, pembilangnya harus mendekati 0 juga. Jadi, g(5) + 1 = 0, yang berarti g(5) = -1.

Namun, jika g(5) = -1, maka ekspresi menjadi limit x -> 5 (0) / (x - 5) = 0, yang selalu benar jika g(5) = -1.

Jika kita menggunakan aturan L'Hopital karena kita memiliki bentuk 0/0 (jika g(5)=-1 dan f(5)=3), kita turunkan pembilang dan penyebut terhadap x:
Turunan pembilang: f'(x)g(x) + f(x)g'(x) - 3g'(x)
Turunan penyebut: f'(x)(x-5) + (f(x)-3)(1)

Jadi, limitnya menjadi:
limit x -> 5 [f'(x)g(x) + f(x)g'(x) - 3g'(x)] / [f'(x)(x-5) + f(x)-3] = 0

Ini menjadi rumit. Mari kita kembali ke bentuk yang disederhanakan:
limit x -> 5 (g(x) + 1) / (x - 5) = 0.

Agar limit ini bernilai 0, pembilang g(x)+1 harus mendekati 0 lebih cepat daripada penyebut x-5, atau g(x)+1 haruslah 0 untuk x=5. Kita tahu g(5)+1 = 0, sehingga g(5) = -1.

Sekarang, kita perlu mencari g'(5). Untuk limit berbentuk limit x->c [g(x) - g(c)] / (x - c) adalah g'(c).
Dalam kasus kita, kita memiliki limit x -> 5 (g(x) + 1) / (x - 5) = 0.
Ini bisa ditulis sebagai limit x -> 5 [g(x) - g(5)] / (x - 5) = 0.
Ini secara langsung menyiratkan bahwa g'(5) = 0.

Ini dengan asumsi bahwa f(x)-3 tidak sama dengan nol di sekitar x=5, sehingga dapat dicoret. Jika f(x)-3 = 0 untuk x=5, maka kita perlu menggunakan aturan L'Hopital pada ekspresi asli.

Mari kita asumsikan f(5) = 3. Maka kita punya bentuk 0/0.
limit x -> 5 [f(x)g(x) - 3g(x) + f(x) - 3] / [(f(x) - 3)(x - 5)]
= limit x -> 5 [(f(x) - 3)(g(x) + 1)] / [(f(x) - 3)(x - 5)]

Jika kita bisa mencoret (f(x)-3), maka kita mendapatkan limit x -> 5 (g(x) + 1) / (x - 5) = 0.
Ini menyiratkan g(5) = -1.
Dan limit [g(x) - g(5)] / (x - 5) = g'(5) = 0.

Jadi, nilai g'(5) = 0.