Diketahui f(x)=-2^(2x)+2^(x+1)+8. Tentukan: a. batasan x

a. x <= 2, b. 9

Pembahasan

Diketahui fungsi f(x) = -2^(2x) + 2^(x+1) + 8.

a. Batasan x agar f(x) >= 0

Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan -2^(2x) + 2^(x+1) + 8 >= 0.
Misalkan y = 2^x. Maka, 2^(2x) = (2^x)^2 = y^2, dan 2^(x+1) = 2^x * 2^1 = 2y.

Pertidaksamaan menjadi:
-y^2 + 2y + 8 >= 0

Kalikan dengan -1 dan balik arah pertidaksamaan:
y^2 - 2y - 8 <= 0

Faktorkan persamaan kuadrat:
(y - 4)(y + 2) <= 0

Nilai-nilai y yang membuat persamaan ini nol adalah y = 4 dan y = -2.
Karena y = 2^x, maka y harus selalu positif (y > 0).

Menguji interval:
*   Jika y < -2 (misal y = -3): (-3 - 4)(-3 + 2) = (-7)(-1) = 7 > 0 (Tidak memenuhi)
*   Jika -2 <= y <= 4 (misal y = 0): (0 - 4)(0 + 2) = (-4)(2) = -8 <= 0 (Memenuhi)
*   Jika y > 4 (misal y = 5): (5 - 4)(5 + 2) = (1)(7) = 7 > 0 (Tidak memenuhi)

Jadi, solusi untuk y adalah -2 <= y <= 4. Namun, karena y = 2^x selalu positif, maka kita ambil 0 < y <= 4.

Substitusikan kembali y = 2^x:
0 < 2^x <= 4

Karena 2^x selalu positif, kita fokus pada 2^x <= 4.
2^x <= 2^2
Karena basisnya (2) lebih besar dari 1, maka:
x <= 2

Jadi, batasan x agar f(x) >= 0 adalah x <= 2.

b. Nilai terbesar dari f(x)

Nilai terbesar f(x) akan terjadi ketika y = 2^x mendekati nilai maksimum yang diizinkan untuk y, yaitu y=4 (karena x=2).

Ketika x = 2:
y = 2^2 = 4
f(2) = -2^(2*2) + 2^(2+1) + 8
f(2) = -2^4 + 2^3 + 8
f(2) = -16 + 8 + 8
f(2) = 0

Untuk memastikan apakah ini nilai terbesar, kita bisa melihat bentuk fungsi dengan substitusi y. Kita punya f(x) dalam bentuk g(y) = -y^2 + 2y + 8, dengan batasan 0 < y <= 4. Fungsi kuadrat g(y) memiliki puncak pada y = -b/(2a) = -2/(2*(-1)) = 1. Nilai maksimum g(y) terjadi pada y=1, yaitu g(1) = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9. Namun, kita dibatasi oleh y <= 4. Karena parabola terbuka ke bawah, nilai g(y) akan menurun setelah mencapai puncaknya di y=1. Oleh karena itu, pada rentang 0 < y <= 4, nilai terbesar g(y) terjadi pada batas akhir y=4 (yang sesuai dengan x=2) atau pada y=1.

Mari kita cek nilai f(x) pada x=1 (dimana y=2^1=2):
f(1) = -2^(2*1) + 2^(1+1) + 8
f(1) = -2^2 + 2^2 + 8
f(1) = -4 + 4 + 8
f(1) = 8

Nilai f(x) pada x=2 adalah 0.
Untuk nilai x < 1, misal x=0 (y=1):
f(0) = -2^(0) + 2^(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9

Perlu diperhatikan kembali bahwa y = 2^x. Rentang x adalah x <= 2. Maka rentang y adalah 0 < y <= 4.
Fungsi g(y) = -y^2 + 2y + 8 adalah parabola yang terbuka ke bawah dengan puncak di y=1. Nilai maksimumnya adalah g(1)=9.
Karena y=1 (yaitu 2^x=1, atau x=0) berada dalam rentang yang diizinkan (x<=2), maka nilai terbesar dari f(x) adalah 9.

Jadi:
a. Batasan x agar f(x) >= 0 adalah x <= 2.
b. Nilai terbesar dari f(x) adalah 9.