Diketahui g(x)=akar(x+2akar(x)). Nilai g'(4)=

g'(4) = (3 * sqrt(2)) / 16

Pembahasan

Untuk mencari nilai g'(4) dari fungsi g(x) = akar(x + 2*akar(x)), kita perlu mencari turunan pertama dari g(x) terlebih dahulu, kemudian substitusikan x = 4.

Langkah 1: Tulis ulang fungsi g(x) menggunakan notasi pangkat:
g(x) = (x + 2x^(1/2))^(1/2)

Langkah 2: Cari turunan g(x) menggunakan aturan rantai. Aturan rantai menyatakan bahwa jika y = f(u) dan u = h(x), maka dy/dx = f'(u) * h'(x).
Dalam kasus ini, biarkan u = x + 2x^(1/2).
Maka g(x) = u^(1/2).

Turunan g terhadap u adalah:
dg/du = (1/2) * u^(-1/2) = 1 / (2 * sqrt(u))

Turunan u terhadap x adalah:
du/dx = d/dx (x + 2x^(1/2))
du/dx = 1 + 2 * (1/2) * x^(-1/2)
du/dx = 1 + x^(-1/2)
du/dx = 1 + 1 / sqrt(x)

Langkah 3: Gabungkan turunan menggunakan aturan rantai:
g'(x) = dg/du * du/dx
g'(x) = [1 / (2 * sqrt(u))] * [1 + 1 / sqrt(x)]

Substitusikan kembali u = x + 2*sqrt(x):
g'(x) = [1 / (2 * sqrt(x + 2*sqrt(x)))] * [1 + 1 / sqrt(x)]

Langkah 4: Substitusikan x = 4 ke dalam g'(x):
g'(4) = [1 / (2 * sqrt(4 + 2*sqrt(4)))] * [1 + 1 / sqrt(4)]

Hitung nilai di dalam akar terlebih dahulu:
sqrt(4) = 2

Substitusikan nilai sqrt(4):
g'(4) = [1 / (2 * sqrt(4 + 2*2))] * [1 + 1 / 2]
g'(4) = [1 / (2 * sqrt(4 + 4))] * [3 / 2]
g'(4) = [1 / (2 * sqrt(8))] * [3 / 2]

Sederhanakan sqrt(8):
sqrt(8) = sqrt(4 * 2) = 2*sqrt(2)

Substitusikan nilai sqrt(8):
g'(4) = [1 / (2 * 2*sqrt(2))] * [3 / 2]
g'(4) = [1 / (4*sqrt(2))] * [3 / 2]

Kalikan kedua pecahan:
g'(4) = 3 / (8*sqrt(2))

Untuk merasionalkan penyebut, kalikan pembilang dan penyebut dengan sqrt(2):
g'(4) = (3 * sqrt(2)) / (8*sqrt(2) * sqrt(2))
g'(4) = (3 * sqrt(2)) / (8 * 2)
g'(4) = (3 * sqrt(2)) / 16

Jadi, nilai g'(4) adalah (3 * sqrt(2)) / 16.