Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk=6. Jarak

6

Pembahasan

Untuk menentukan jarak garis AE dengan bidang BDHF pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6, kita perlu memahami konsep jarak antara garis dan bidang dalam ruang.

Bidang BDHF adalah bidang diagonal kubus. Garis AE adalah rusuk tegak kubus.

Dalam kubus ABCD.EFGH:
- Titik A, B, C, D berada pada bidang alas.
- Titik E, F, G, H berada pada bidang atas, dengan E di atas A, F di atas B, G di atas C, dan H di atas D.
- Rusuk AE tegak lurus terhadap bidang alas ABCD dan bidang atas EFGH.

Bidang BDHF dibentuk oleh diagonal alas BD dan diagonal atas FH.

Perhatikan bahwa garis AE sejajar dengan garis BF, CG, dan DH. Semua rusuk vertikal ini tegak lurus terhadap bidang alas dan bidang atas.

Bidang BDHF memotong bidang alas ABCD pada garis BD dan memotong bidang atas EFGH pada garis FH. Bidang BDHF ini tegak lurus terhadap rusuk AB, CD, EF, HG dan juga tegak lurus terhadap rusuk BC, AD, FG, EH.

Karena AE adalah rusuk vertikal, jarak terdekat dari garis AE ke bidang BDHF adalah jarak dari titik A ke bidang BDHF atau jarak dari titik E ke bidang BDHF. Namun, ini bukan cara yang tepat untuk melihatnya.

Cara yang lebih tepat adalah dengan melihat proyeksi garis AE pada bidang BDHF. Atau, kita bisa melihat bahwa bidang yang memuat rusuk AE dan tegak lurus terhadap bidang BDHF.

Mari kita pertimbangkan bidang ABFE. Bidang ini tegak lurus terhadap bidang BDHF (karena AB tegak lurus BD dan BF tegak lurus FH). Garis AE terletak pada bidang ABFE.

Dalam bidang ABFE, jarak dari garis AE ke bidang BDHF adalah sama dengan jarak dari garis AE ke perpotongan bidang ABFE dengan bidang BDHF. Perpotongan kedua bidang ini adalah garis BF.

Jadi, jarak garis AE ke bidang BDHF adalah sama dengan jarak antara garis AE dan garis BF. Karena AE dan BF adalah rusuk yang sejajar dan memiliki panjang yang sama (panjang rusuk kubus), jarak antara keduanya adalah 0 jika mereka berada pada bidang yang sama. Namun, kita mencari jarak ke bidang BDHF.

Mari kita lihat dari sudut pandang lain. Garis AE sejajar dengan bidang BDHF jika AE tidak memotong bidang tersebut. Namun, AE tidak sejajar. AE memotong bidang BDHF di titik E jika kita memperpanjang bidang BDHF ke atas, tetapi pada dasarnya bidang BDHF tidak memuat E atau A.

Perhatikan bahwa rusuk AB tegak lurus terhadap diagonal BD (karena ABCD adalah persegi). Demikian pula, rusuk EF tegak lurus terhadap diagonal FH.

Jarak antara garis AE dan bidang BDHF adalah jarak dari titik manapun pada garis AE ke bidang BDHF. Paling mudah adalah mengambil titik A.

Bidang BDHF. Titik A berada di luar bidang ini. Kita perlu mencari jarak dari A ke bidang BDHF.

Perhatikan bidang ABCD. Bidang BDHF memotong bidang ABCD sepanjang garis BD.
Jarak dari titik A ke garis BD dalam persegi ABCD adalah setengah dari panjang diagonal AC (atau BD). Panjang diagonal AC = sqrt(6^2 + 6^2) = sqrt(72) = 6*sqrt(2).
Setengah dari diagonal = 3*sqrt(2).

Namun, ini adalah jarak dari A ke garis BD, bukan ke bidang BDHF.

Perhatikan rusuk AB. Rusuk AB tegak lurus dengan bidang BDHF. Mengapa? Karena AB tegak lurus BD (diagonal persegi) dan AB tegak lurus BF (rusuk kubus). Karena AB tegak lurus dua garis berpotongan di bidang BDHF (BD dan BF), maka AB tegak lurus bidang BDHF.

Oleh karena itu, jarak dari garis AE ke bidang BDHF adalah sama dengan panjang rusuk AB, karena AE sejajar dengan AB (keduanya adalah rusuk vertikal) dan AB tegak lurus bidang BDHF.

Panjang rusuk kubus adalah 6.
Jadi, jarak garis AE dengan bidang BDHF adalah sama dengan panjang rusuk kubus, yaitu 6.