Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Jarak

$a/ sqrt{3}$ atau $a sqrt{3}/3$

Pembahasan

Untuk menentukan jarak garis BD ke bidang CFH pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm, kita perlu memproyeksikan salah satu titik dari garis BD ke bidang CFH atau mencari vektor normal bidang dan vektor arah garis.

Perhatikan kubus ABCD.EFGH. Garis BD terletak pada bidang alas ABCD. Bidang CFH dibentuk oleh diagonal bidang CF, CH, dan FH.

Jarak antara garis BD dan bidang CFH adalah sama dengan jarak antara titik D (atau B) ke bidang CFH, karena BD sejajar dengan bidang CFH. Kita bisa melihat bahwa BD sejajar dengan diagonal AC pada bidang alas, dan AC sejajar dengan FH pada bidang atas. Bidang CFH memuat FH.

Cara lain adalah dengan mempertimbangkan diagonal ruang kubus. Misalkan kita ambil titik B. Bidang CFH tidak memuat titik B. Kita perlu mencari jarak dari B ke bidang CFH.

Perhatikan simetri kubus. Garis BD adalah diagonal bidang alas. Bidang CFH memotong kubus secara diagonal.

Jarak garis BD ke bidang CFH sama dengan jarak dari titik B ke bidang CFH.
Bidang CFH melalui titik C, F, H. Jika kita ambil titik B, maka jarak dari B ke bidang CFH dapat dicari dengan memproyeksikan B ke bidang tersebut. Titik proyeksi B ke bidang CFH adalah titik tengah dari diagonal ruang BH yang memotong bidang CFH di pusat kubus.

Namun, cara yang lebih umum untuk masalah ini adalah mengenali bahwa jarak antara garis BD dan bidang CFH adalah jarak antara titik D dan bidang CFH (karena BD sejajar dengan bidang CFH). Titik D diproyeksikan ke titik H pada bidang CFH jika kita mempertimbangkan diagonal ruang DH. Namun, bidang CFH tidak melalui DH.

Mari kita gunakan vektor.
Misalkan titik A = (0,0,0), B = (a,0,0), C = (a,a,0), D = (0,a,0), E = (0,0,a), F = (a,0,a), G = (a,a,a), H = (0,a,a).
Garis BD memiliki vektor arah $\vec{BD} = D - B = (0,a,0) - (a,0,0) = (-a, a, 0)$.
Bidang CFH melewati titik C=(a,a,0), F=(a,0,a), H=(0,a,a).
Vektor $\vec{CF} = F - C = (a,0,a) - (a,a,0) = (0, -a, a)$.
Vektor $\vec{CH} = H - C = (0,a,a) - (a,a,0) = (-a, 0, a)$.

Untuk mencari vektor normal bidang CFH, kita hitung cross product $\vec{CF} 	imes \vec{CH}$.
$\vec{n} = \vec{CF} 	imes \vec{CH} = egin{vmatrix} i & j & k \ 0 & -a & a \ -a & 0 & a 
\end{vmatrix} = i(-a^2 - 0) - j(0 - (-a^2)) + k(0 - a^2) = -a^2 i - a^2 j - a^2 k = (-a^2, -a^2, -a^2)$.
Kita bisa mengambil vektor normal yang lebih sederhana, $\vec{n'} = (1, 1, 1)$.

Persamaan bidang CFH yang melalui C=(a,a,0) dengan normal $\vec{n'} = (1,1,1)$ adalah:
$1(x-a) + 1(y-a) + 1(z-0) = 0$
$x - a + y - a + z = 0$
$x + y + z = 2a$.

Sekarang kita cari jarak dari titik B=(a,0,0) ke bidang $x+y+z-2a=0$.
Rumus jarak titik $(x_0, y_0, z_0)$ ke bidang $Ax+By+Cz+D=0$ adalah $|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| / 
sqrt(A^2+B^2+C^2)$.
Jarak = $|1(a) + 1(0) + 1(0) - 2a| / 
sqrt(1^2+1^2+1^2) = |a - 2a| / 
sqrt(3) = |-a| / 
sqrt(3) = a / 
sqrt(3)$.

Jadi, jarak garis BD ke bidang CFH adalah $a/
sqrt{3}$ atau $a
sqrt{3}/3$.

Jawaban ringkasnya adalah jaraknya adalah $\frac{a}{\sqrt{3}}$ atau $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.