Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang sisi a cm.

a. Jarak AE ke DB adalah (a * sqrt(2))/2. b. Sudut antara HB dan bidang ADHE adalah arctan(1/sqrt(2)) atau sekitar 35.26 derajat.

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi a cm.

a. Jarak garis AE ke DB:
Garis AE adalah rusuk vertikal kubus, sedangkan DB adalah diagonal bidang alas ABCD. Kedua garis ini bersilangan (tidak sejajar dan tidak berpotongan).
Untuk menentukan jarak antara dua garis bersilangan, kita dapat menggunakan konsep proyeksi atau mencari jarak tegak lurus terpendek di antara keduanya. Salah satu cara adalah dengan membayangkan sebuah bidang yang melalui salah satu garis dan sejajar dengan garis lainnya, atau dengan menggunakan vektor.

Secara visual, jarak terpendek antara AE (yang tegak lurus dengan bidang ABCD) dan DB (yang terletak pada bidang ABCD) adalah jarak dari titik A ke garis DB pada bidang ABCD, atau jarak dari titik E ke bidang diagonal ACGE yang sejajar dengan DB. Namun, jarak AE ke DB sama dengan jarak dari titik A ke garis DB pada bidang ABCD, karena AE tegak lurus terhadap bidang alas.

Pada bidang alas ABCD (persegi), diagonal DB bertemu dengan diagonal AC di titik pusat O. Jarak dari A ke DB adalah setengah dari panjang diagonal AC. Panjang diagonal AC = sqrt(a^2 + a^2) = sqrt(2a^2) = a * sqrt(2).
Maka, jarak terpendek dari A ke DB adalah 1/2 * a * sqrt(2) = (a * sqrt(2))/2.

b. Besar sudut yang terbentuk antara garis HB dan bidang ADHE:
Garis HB adalah diagonal ruang kubus. Bidang ADHE adalah salah satu bidang sisi tegak kubus.
Untuk mencari sudut antara garis dan bidang, kita perlu mencari sudut antara garis HB dan proyeksinya pada bidang ADHE. Proyeksi garis HB pada bidang ADHE adalah garis HD.
Jadi, sudut yang dicari adalah sudut BHD.

Dalam kubus, semua rusuk tegak lurus dengan bidang alas dan bidang sisi yang bersentuhan dengannya. Juga, diagonal bidang tegak lurus dengan rusuk yang tidak terletak pada bidang tersebut.

Perhatikan segitiga siku-siku HDC (salah satu sisi tegak):
HD adalah diagonal bidang ADHE, panjang HD = sqrt(a^2 + a^2) = a * sqrt(2).
HC adalah diagonal ruang, panjang HC = sqrt(a^2 + a^2 + a^2) = a * sqrt(3).

Sekarang kita perlu sudut antara HB dan bidang ADHE. Proyeksi HB pada ADHE adalah HD. Jadi sudutnya adalah sudut BHD.
Perhatikan segitiga siku-siku HBA (salah satu sisi tegak):
HB adalah diagonal bidang ABFE, panjang HB = sqrt(a^2 + a^2) = a * sqrt(2).
AE = a.

Mari kita gunakan proyeksi yang benar. Proyeksi HB pada bidang ADHE adalah HD. Sudut yang dibentuk adalah sudut antara HB dan HD, yaitu sudut BHD.
Dalam kubus, kita bisa melihat segitiga siku-siku HGC (sisi tegak):
HG = a
GC = a
HB = diagonal bidang BCGF = sqrt(a^2 + a^2) = a * sqrt(2).

Perhatikan segitiga siku-siku HDA:
HD = a * sqrt(2) (diagonal bidang ADHE)
HA = a
AD = a

Sekarang, mari kita cari sudut antara garis HB dan bidang ADHE. Proyeksi titik B pada bidang ADHE adalah titik A (karena AB tegak lurus bidang ADHE). Jadi, proyeksi garis HB pada bidang ADHE adalah garis HA. Sudut yang dibentuk adalah sudut AHB.

Perhatikan segitiga siku-siku ABH (salah satu sisi tegak):
AB = a (tinggi kubus)
AH = a * sqrt(2) (diagonal bidang ADHE)
HB = a * sqrt(2) (diagonal bidang ABFE)

Dalam segitiga ABH, AB tegak lurus dengan AH (karena AB tegak lurus bidang ADHE).
Sudut yang dibentuk antara garis HB dan bidang ADHE adalah sudut AHB.
Kita bisa menggunakan trigonometri pada segitiga siku-siku ABH:
Tan(sudut AHB) = sisi depan / sisi samping = AB / AH
Tan(sudut AHB) = a / (a * sqrt(2))
Tan(sudut AHB) = 1 / sqrt(2)

Maka, besar sudut AHB = arctan(1 / sqrt(2)).
Jika kita perlu nilai numeriknya:
1 / sqrt(2) ≈ 0.7071
arctan(0.7071) ≈ 35.26 derajat.