Diketahui limas beraturan T.ABCD dengn A B=8 akar(2) cm dan

Jarak titik P dan Q adalah 5 cm.

Pembahasan

Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan AB = 8√2 cm dan TA = 10 cm. Titik P adalah titik tengah TC dan Q adalah titik potong diagonal alas.

1. **Cari panjang diagonal alas AC atau BD:**
Karena alasnya persegi (limas beraturan), kita bisa menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga ABC:
AC² = AB² + BC²
AC² = (8√2)² + (8√2)²
AC² = (64 * 2) + (64 * 2)
AC² = 128 + 128
AC² = 256
AC = √256 = 16 cm

2. **Cari panjang diagonal QC:**
Q adalah titik potong diagonal, sehingga Q adalah titik tengah AC. Maka, QC = AC / 2 = 16 cm / 2 = 8 cm.

3. **Cari panjang rusuk TC:**
Untuk mencari TC, kita perlu tinggi limas. Namun, kita bisa langsung mencari TC menggunakan segitiga TAC. Q adalah titik tengah AC, dan dalam limas beraturan, TQ tegak lurus AC. Namun, kita tidak memerlukan TQ untuk mencari TC. Kita bisa menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku TAC jika kita tahu tingginya. 

Cara lain adalah mencari panjang TC dari segitiga siku-siku yang dibentuk oleh rusuk tegak dan setengah diagonal alas. Misalkan O adalah titik pusat alas (yang sama dengan Q). Maka TO adalah tinggi limas.
TO² + OQ² = TQ² (Ini salah, TQ bukan rusuk)

Kita gunakan segitiga siku-siku TQC jika TC tegak lurus QC (tidak benar).

Mari kita gunakan segitiga TAC. Kita tahu TA = 10 cm dan AC = 16 cm. Titik P adalah titik tengah TC. Kita perlu mencari jarak PQ.

Kita bisa gunakan teorema Pythagoras pada segitiga TQC. Q adalah titik tengah AC. TC adalah rusuk tegak.
Untuk mencari panjang TC, kita perlu tinggi limas terlebih dahulu. Misalkan tinggi limas adalah TO (Q=O).
Dalam segitiga siku-siku TOA: TA² = TO² + OA²
OA = AC/2 = 16/2 = 8 cm
10² = TO² + 8²
100 = TO² + 64
TO² = 100 - 64 = 36
TO = 6 cm (Tinggi limas)

Sekarang kita cari TC menggunakan segitiga siku-siku TO C:
TC² = TO² + OC²
OC = AC/2 = 16/2 = 8 cm
TC² = 6² + 8²
TC² = 36 + 64
TC² = 100
TC = 10 cm (Ini sudah diketahui dari soal, TA=10, sehingga TC=TA=10 karena limas beraturan).

Sekarang kita punya segitiga TQC dengan sisi TQ (tinggi limas = 6 cm), QC = 8 cm, dan TC = 10 cm. Segitiga TQC adalah segitiga siku-siku di Q karena TQ tegak lurus alas (dan diagonal alas).

P adalah titik tengah TC. Kita ingin mencari jarak PQ.
Dalam segitiga TQC, PQ adalah garis yang menghubungkan titik tengah TC ke titik Q. Ini adalah garis berat pada segitiga TQC dari titik Q ke sisi TC. Namun, segitiga TQC siku-siku di Q, bukan di C atau T.

P adalah titik tengah TC. Kita bisa gunakan koordinat atau vektor. Atau gunakan sifat garis berat pada segitiga siku-siku.

Dalam segitiga TQC, sisi-sisinya adalah TQ=6, QC=8, TC=10.
Titik P adalah titik tengah TC.

Kita bisa menggunakan aturan kosinus pada segitiga PQC untuk mencari PQ.
Kita perlu sudut ∠TCQ.
Dalam segitiga TQC (siku-siku di Q):
cos(∠TCQ) = QC / TC = 8 / 10 = 4/5

Sekarang terapkan aturan kosinus pada segitiga PQC:
PQ² = QC² + PC² - 2 * QC * PC * cos(∠TCQ)
PC = TC / 2 = 10 cm / 2 = 5 cm
PQ² = 8² + 5² - 2 * 8 * 5 * (4/5)
PQ² = 64 + 25 - 2 * 8 * 4
PQ² = 89 - 64
PQ² = 25
PQ = √25 = 5 cm

Jadi, jarak titik P dan Q adalah 5 cm.