Jika f(x-1)=2 x^2 , tentukana. f(x) ;c. f(x+1) ;b. f^-1(x)

a. f(x) = 2(x+1)^2, b. f^-1(x) = -1 +/- sqrt(x/2), c. f(x+1) = 2(x+2)^2, d. f^-1(x+1) = -1 +/- sqrt((x+1)/2)

Pembahasan

Untuk menentukan f(x), f^-1(x), f(x+1), dan f^-1(x+1) dari f(x-1)=2x^2, kita perlu melakukan substitusi dan mencari invers dari fungsi.

Diketahui f(x-1) = 2x^2.

a. Menentukan f(x):
Misalkan y = x - 1. Maka x = y + 1.
Gantikan x dalam persamaan f(x-1) = 2x^2 dengan (y+1):
f(y) = 2(y+1)^2
Sekarang, ganti y dengan x untuk mendapatkan f(x):
f(x) = 2(x+1)^2

b. Menentukan f^-1(x):
Dari f(x) = 2(x+1)^2, kita akan mencari fungsi inversnya.
Misalkan y = f(x), jadi y = 2(x+1)^2.
Tukar x dan y:
x = 2(y+1)^2
Bagi kedua sisi dengan 2:
x/2 = (y+1)^2
Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
+/- sqrt(x/2) = y+1
Kurangi 1 dari kedua sisi:
y = -1 +/- sqrt(x/2)

Jadi, f^-1(x) = -1 +/- sqrt(x/2). Perlu dicatat bahwa fungsi ini memiliki dua cabang karena kuadrat pada (x+1)^2. Untuk mendapatkan invers yang sebenarnya, kita perlu mendefinisikan domain asli f(x) sehingga ia menjadi satu-satu (misalnya, jika x >= -1 atau x <= -1).

Namun, jika kita hanya mengikuti prosedur aljabar, kita mendapatkan kedua cabang ini.

c. Menentukan f(x+1):
Kita sudah punya f(x) = 2(x+1)^2.
Ganti x dengan (x+1) dalam f(x):
f(x+1) = 2((x+1)+1)^2
f(x+1) = 2(x+2)^2

d. Menentukan f^-1(x+1):
Kita sudah punya f^-1(y) = -1 +/- sqrt(y/2) (menggunakan y sebagai variabel dummy).
Ganti y dengan (x+1) dalam f^-1(y):
f^-1(x+1) = -1 +/- sqrt((x+1)/2)

Jadi, hasil lengkapnya adalah:
a. f(x) = 2(x+1)^2
b. f^-1(x) = -1 +/- sqrt(x/2)
c. f(x+1) = 2(x+2)^2
d. f^-1(x+1) = -1 +/- sqrt((x+1)/2)