Diketahui matriks A=(2 -4 3 1 2 -1 -2 -3 1). Gunakan A^(-1)

x=5, y=-1, z=-2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan invers matriks A, pertama kita perlu mencari invers dari matriks A. Matriks A diberikan sebagai:
A = [[2, -4, 3], [1, 2, -1], [-2, -3, 1]]
Untuk mencari A^(-1), kita dapat menggunakan rumus A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A).

Langkah 1: Hitung determinan (det(A)).
det(A) = 2 * det([[2, -1], [-3, 1]]) - (-4) * det([[1, -1], [-2, 1]]) + 3 * det([[1, 2], [-2, -3]])
det(A) = 2 * (2*1 - (-1)*(-3)) + 4 * (1*1 - (-1)*(-2)) + 3 * (1*(-3) - 2*(-2))
det(A) = 2 * (2 - 3) + 4 * (1 - 2) + 3 * (-3 + 4)
det(A) = 2 * (-1) + 4 * (-1) + 3 * (1)
det(A) = -2 - 4 + 3 = -3

Langkah 2: Hitung adjoint (adj(A)). Adjoint adalah transpose dari matriks kofaktor.
Kofaktor C_ij = (-1)^(i+j) * M_ij, di mana M_ij adalah minor.

M_11 = det([[2, -1], [-3, 1]]) = 2 - 3 = -1 => C_11 = -1
M_12 = det([[1, -1], [-2, 1]]) = 1 - 2 = -1 => C_12 = 1
M_13 = det([[1, 2], [-2, -3]]) = -3 - (-4) = 1 => C_13 = 1
M_21 = det([[-4, 3], [-3, 1]]) = -4 - (-9) = 5 => C_21 = -5
M_22 = det([[2, 3], [-2, 1]]) = 2 - (-6) = 8 => C_22 = 8
M_23 = det([[2, -4], [-2, -3]]) = -6 - 8 = -14 => C_23 = 14
M_31 = det([[-4, 3], [2, -1]]) = 4 - 6 = -2 => C_31 = -2
M_32 = det([[2, 3], [1, -1]]) = -2 - 3 = -5 => C_32 = 5
M_33 = det([[2, -4], [1, 2]]) = 4 - (-4) = 8 => C_33 = 8

Matriks Kofaktor C = [[-1, 1, 1], [-5, 8, 14], [-2, 5, 8]]
Adjoint(A) = C^T = [[-1, -5, -2], [1, 8, 5], [1, 14, 8]]

Langkah 3: Hitung A^(-1).
A^(-1) = (1/-3) * [[-1, -5, -2], [1, 8, 5], [1, 14, 8]]
A^(-1) = [[1/3, 5/3, 2/3], [-1/3, -8/3, -5/3], [-1/3, -14/3, -8/3]]

Langkah 4: Gunakan A^(-1) untuk menyelesaikan sistem persamaan.
Sistem persamaan dapat ditulis dalam bentuk matriks AX = B, di mana:
X = [[x], [y], [z]]
B = [[8], [5], [-9]]

Maka, X = A^(-1)B
[[x], [y], [z]] = [[1/3, 5/3, 2/3], [-1/3, -8/3, -5/3], [-1/3, -14/3, -8/3]] * [[8], [5], [-9]]

Hitung perkalian matriks:
x = (1/3)*8 + (5/3)*5 + (2/3)*(-9) = 8/3 + 25/3 - 18/3 = (8 + 25 - 18) / 3 = 15 / 3 = 5
y = (-1/3)*8 + (-8/3)*5 + (-5/3)*(-9) = -8/3 - 40/3 + 45/3 = (-8 - 40 + 45) / 3 = -3 / 3 = -1
z = (-1/3)*8 + (-14/3)*5 + (-8/3)*(-9) = -8/3 - 70/3 + 72/3 = (-8 - 70 + 72) / 3 = -6 / 3 = -2

Jadi, solusi dari sistem persamaan adalah x = 5, y = -1, dan z = -2.