Diketahui nilai sin alpha cos beta=1/5 dan

-1/5

Pembahasan

Diketahui:
sin alpha cos beta = 1/5
sin(alpha - beta) = 3/5
0 <= alpha <= 180 derajat
0 <= beta <= 90 derajat

Ditanya: sin(alpha + beta)

Kita tahu identitas trigonometri:
sin(alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta
sin(alpha - beta) = sin alpha cos beta - cos alpha sin beta

Dari sin(alpha - beta) = 3/5 dan sin alpha cos beta = 1/5, kita dapatkan:
3/5 = 1/5 - cos alpha sin beta
cos alpha sin beta = 1/5 - 3/5
cos alpha sin beta = -2/5

Sekarang kita bisa menghitung sin(alpha + beta):
sin(alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta
sin(alpha + beta) = (1/5) + (-2/5)
sin(alpha + beta) = 1/5 - 2/5
sin(alpha + beta) = -1/5

Namun, perlu diperiksa kembali batasan nilai alpha dan beta untuk memastikan tanda dari cos alpha dan sin beta. 
Karena 0 <= alpha <= 180, sin alpha selalu positif. 
Karena 0 <= beta <= 90, cos beta dan sin beta selalu positif.

Jika sin alpha cos beta = 1/5 (positif), maka sin alpha dan cos beta keduanya positif, yang konsisten dengan batasan.
Jika sin(alpha - beta) = 3/5 (positif), maka alpha - beta berada di kuadran I atau II. 
Jika cos alpha sin beta = -2/5 (negatif), karena sin beta positif, maka cos alpha harus negatif. Ini berarti alpha berada di kuadran II (90 < alpha <= 180).

Dengan alpha di kuadran II, sin alpha positif dan cos alpha negatif.

Mari kita hitung nilai cos alpha dan sin beta dari identitas:
cos^2 alpha + sin^2 alpha = 1
sin^2 beta + cos^2 beta = 1

Kita punya sin alpha cos beta = 1/5 dan cos alpha sin beta = -2/5.
Kuadratkan kedua persamaan:
(sin alpha cos beta)^2 = (1/5)^2 => sin^2 alpha cos^2 beta = 1/25
(cos alpha sin beta)^2 = (-2/5)^2 => cos^2 alpha sin^2 beta = 4/25

Perhatikan bahwa sin(alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta = 1/5 + (-2/5) = -1/5. Nilai ini konsisten. Namun, jika kita perlu menentukan nilai pasti tanpa ambiguitas, perlu dihitung nilai cos alpha dan sin beta secara terpisah.

Misalkan sin alpha = a, cos alpha = -b (karena alpha di kuadran II, a>0, b>0)
Misalkan sin beta = c, cos beta = d (karena beta di kuadran I, c>0, d>0)

Persamaan menjadi:
ad = 1/5
(-b)c = -2/5 => bc = 2/5

Kita tahu a^2 + b^2 = 1 dan c^2 + d^2 = 1.

sin(alpha + beta) = ad + (-b)c = ad - bc = 1/5 - 2/5 = -1/5.

Nilai sin(alpha + beta) adalah -1/5.