Diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah akar(3)

Jarak titik A ke bidang QBF adalah $\sqrt{3}/2$ cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik A ke bidang QBF, kita perlu menggunakan konsep vektor dan proyeksi. Pertama, kita tentukan vektor-vektor yang membentuk bidang QBF dan vektor yang menghubungkan titik A ke bidang tersebut. Misalkan titik A berada pada (0,0,0). Karena panjang rusuk kubus adalah $\sqrt{3}$ cm, maka koordinat titik B adalah $(\sqrt{3}, 0, 0)$, F adalah $(\sqrt{3}, \sqrt{3}, 0)$, dan Q berada pada garis AD. Karena AD adalah rusuk kubus yang tegak lurus AB, maka Q berada pada sumbu y. Jarak AQ = 1 cm, sehingga koordinat Q adalah (0, 1, 0). Vektor AB = $(\sqrt{3}, 0, 0)$, vektor AQ = (0, 1, 0), dan vektor BF = (0, $\sqrt{3}$, 0). Vektor normal bidang QBF dapat dicari dengan hasil kali silang vektor yang terletak pada bidang tersebut, misalnya AQ dan AB (jika Q, A, B segaris, gunakan vektor lain). Namun, cara yang lebih umum adalah dengan mencari persamaan bidang QBF. Persamaan bidang yang melalui titik $(x_0, y_0, z_0)$ dengan vektor normal $(A, B, C)$ adalah $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$. Dalam kasus ini, bidang QBF melalui titik Q(0, 1, 0) atau B($\sqrt{3}$, 0, 0) atau F($\sqrt{3}$, $\sqrt{3}$, 0). Kita bisa memilih Q sebagai titik $(x_0, y_0, z_0)$. Vektor normal bidang adalah hasil kali silang dari dua vektor yang berada pada bidang tersebut, misalnya $\vec{QB}$ dan $\vec{QF}$. $\vec{QB} = B - Q = (\sqrt{3}, -1, 0)$. $\vec{QF} = F - Q = (\sqrt{3}, \sqrt{3}-1, 0)$. Vektor normal $\vec{n} = \vec{QB} \times \vec{QF} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ \sqrt{3} & -1 & 0 \\ \sqrt{3} & \sqrt{3}-1 & 0 \end{vmatrix} = i(0) - j(0) + k(-\sqrt{3}(\sqrt{3}-1) - (-\sqrt{3})) = k(-3 + \sqrt{3} + \sqrt{3}) = k(2\sqrt{3}-3)$. Jadi, vektor normalnya adalah $(0, 0, 2\sqrt{3}-3)$. Persamaan bidang QBF adalah $0(x-0) + 0(y-1) + (2\sqrt{3}-3)(z-0) = 0$, atau $(2\sqrt{3}-3)z = 0$, yang berarti $z=0$. Jarak titik A(0,0,0) ke bidang $z=0$ adalah $|0| = 0$. Perlu diperiksa kembali penentuan vektor dan bidangnya. Diasumsikan penempatan titik A,B,C,D,E,F,G,H pada kubus standar. A=(0,0,0), B=($\sqrt{3}$,0,0), D=(0,$\sqrt{3}$,0), H=(0,0,$\sqrt{3}$). Q pada AD, AQ=1, maka Q=(0,1,0). Bidang QBF melalui Q(0,1,0), B($\sqrt{3}$,0,0), F($\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$,0). Vektor $\vec{QB} = (\sqrt{3}, -1, 0)$. Vektor $\vec{QF} = (\sqrt{3}, \sqrt{3}-1, 0)$. Vektor normal $\vec{n} = \vec{QB} \times \vec{QF} = (0, 0, -\sqrt{3}(\sqrt{3}-1) - (-1)\sqrt{3}) = (0, 0, -3+\sqrt{3}+\sqrt{3}) = (0, 0, 2\sqrt{3}-3)$. Persamaan bidang QBF: $0(x-0) + 0(y-1) + (2\sqrt{3}-3)(z-0) = 0$, yaitu $(2\sqrt{3}-3)z = 0$, atau $z=0$. Jarak titik A(0,0,0) ke bidang $z=0$ adalah 0. Mungkin ada kekeliruan dalam interpretasi soal atau penempatan koordinat. Mari kita coba pendekatan lain. Jarak titik ke bidang = $|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| / \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$. Persamaan bidang QBF. Titik Q=(0,1,0), B=($\sqrt{3}$,0,0), F=($\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$,0). Vektor $\vec{QB} = (\sqrt{3}, -1, 0)$. Vektor $\vec{BF} = (0, \sqrt{3}, 0)$. Vektor normal $\vec{n} = \vec{QB} \times \vec{BF} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ \sqrt{3} & -1 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \end{vmatrix} = i(0) - j(0) + k(-\sqrt{3}(\sqrt{3}) - (-1)(0)) = k(-3)$. Vektor normal = (0,0,-3) atau (0,0,1). Persamaan bidang QBF melalui Q(0,1,0) dengan normal (0,0,1) adalah $0(x-0) + 0(y-1) + 1(z-0) = 0$, yaitu $z=0$. Jarak A(0,0,0) ke $z=0$ adalah 0. Masih menghasilkan 0. Mari kita periksa soalnya lagi. Kubus ABCD.EFGH, rusuk $\sqrt{3}$. Q pada AD, AQ=1. Jarak A ke bidang QBF. Penempatan koordinat A(0,0,0), B($\sqrt{3}$,0,0), D(0,$\sqrt{3}$,0), C($\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$,0), E(0,0,$\sqrt{3}$), F($\sqrt{3}$,0,$\sqrt{3}$), G($\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$), H(0,$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$). Q pada AD, AQ=1, maka Q(0,1,0). Bidang QBF melalui Q(0,1,0), B($\sqrt{3}$,0,0), F($\sqrt{3}$,0,$\sqrt{3}$). Vektor $\vec{QB} = (\sqrt{3}, -1, 0)$. Vektor $\vec{QF} = (\sqrt{3}, -1, \sqrt{3})$. Vektor normal $\vec{n} = \vec{QB} \times \vec{QF} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ \sqrt{3} & -1 & 0 \\ \sqrt{3} & -1 & \sqrt{3} \end{vmatrix} = i(-\sqrt{3}) - j(3) + k(-\sqrt{3} - (-\sqrt{3})) = -\sqrt{3}i - 3j$. Vektor normal = $(-\sqrt{3}, -3, 0)$. Persamaan bidang QBF melalui Q(0,1,0): $-\sqrt{3}(x-0) - 3(y-1) + 0(z-0) = 0$. $-\sqrt{3}x - 3y + 3 = 0$. Jarak A(0,0,0) ke bidang $-\sqrt{3}x - 3y + 3 = 0$: $J = |-\sqrt{3}(0) - 3(0) + 3| / \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-3)^2 + 0^2} = |3| / \sqrt{3 + 9} = 3 / \sqrt{12} = 3 / (2\sqrt{3}) = (3\sqrt{3}) / 6 = \sqrt{3}/2$.