Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

x >= 3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan ini, kita perlu menyelesaikan masing-masing pertidaksamaan secara terpisah.

Pertidaksamaan 1: $\sqrt{2x+4} > \sqrt{x-3}$
Kuadratkan kedua sisi (karena kedua sisi positif):
$2x+4 > x-3$
$2x - x > -3 - 4$
$x > -7$
Selain itu, agar akar kuadrat terdefinisi, argumennya harus non-negatif:
$2x+4 \geq 0 \implies 2x \geq -4 \implies x \geq -2$
$x-3 \geq 0 \implies x \geq 3$
Menggabungkan syarat-syarat ini ($x > -7$, $x \geq -2$, dan $x \geq 3$), kita mendapatkan $x \geq 3$.

Pertidaksamaan 2: $x^3-x^2-4x+4 \geq 0$
Faktorkan polinomial:
$x^2(x-1) - 4(x-1) \geq 0$
$(x^2-4)(x-1) \geq 0$
$(x-2)(x+2)(x-1) \geq 0$
Kita dapat menggunakan garis bilangan untuk menentukan interval solusi. Akar-akarnya adalah -2, 1, dan 2.
Uji interval:
Jika $x < -2$, misal $x=-3$: $(-)(-)(-) = - \geq 0$ (Salah)
Jika $-2 < x < 1$, misal $x=0$: $(-)(+)(-) = + \geq 0$ (Benar)
Jika $1 < x < 2$, misal $x=1.5$: $(+)(+)(-) = - \geq 0$ (Salah)
Jika $x > 2$, misal $x=3$: $(+)(+)(+) = + \geq 0$ (Benar)
Jadi, solusi untuk pertidaksamaan kedua adalah $-2 \leq x \leq 1$ atau $x \geq 2$.

Menggabungkan kedua pertidaksamaan:
Kita perlu mencari irisan dari $x \geq 3$ dan ($-2 \leq x \leq 1$ atau $x \geq 2$).
Irisan dari $x \geq 3$ dan $-2 \leq x \leq 1$ adalah himpunan kosong.
Irisan dari $x \geq 3$ dan $x \geq 2$ adalah $x \geq 3$.

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut adalah $x \geq 3$.