Diketahui persamaan parabola y=ax^2+bx+c. Dengan

Keberadaan parabola terjamin karena determinan matriks koefisien tidak nol jika x1, x2, x3 berbeda.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa selalu ada persamaan parabola yang melalui tiga titik berbeda (x1, y1), (x2, y2), dan (x3, y3) jika x1, x2, dan x3 berbeda, kita dapat menggunakan konsep interpolasi polinomial. Persamaan parabola umum adalah y = ax^2 + bx + c.
Kita dapat mensubstitusikan ketiga titik ke dalam persamaan umum:
1. y1 = a(x1)^2 + b(x1) + c
2. y2 = a(x2)^2 + b(x2) + c
3. y3 = a(x3)^2 + b(x3) + c

Ini adalah sistem tiga persamaan linear dengan tiga variabel (a, b, c). Sistem ini dapat ditulis dalam bentuk matriks:

| x1^2  x1  1 | | a |
| x2^2  x2  1 | | b |
| x3^2  x3  1 | | c | = | y1 |
                               | y2 |
                               | y3 |

Agar solusi (a, b, c) ada dan unik, determinan dari matriks koefisien harus tidak sama dengan nol. Determinan matriks koefisien adalah:
D = | x1^2  x1  1 |
    | x2^2  x2  1 |
    | x3^2  x3  1 |

Menurut soal, determinan ini diberikan sebagai:
D = (x2-x1)(x3-x2)(x1-x3)

Karena diberikan bahwa x1, x2, dan x3 berbeda, maka:
(x2-x1) ≠ 0
(x3-x2) ≠ 0
(x1-x3) ≠ 0

Oleh karena itu, hasil perkalian determinan D = (x2-x1)(x3-x2)(x1-x3) tidak akan pernah sama dengan nol.

Karena determinan matriks koefisien tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan linear tersebut memiliki solusi yang unik untuk a, b, dan c. Dengan adanya nilai a, b, dan c yang unik, maka dapat dipastikan selalu ada satu persamaan parabola y = ax^2 + bx + c yang melalui ketiga titik yang diberikan (x1, y1), (x2, y2), dan (x3, y3) asalkan x1, x2, dan x3 berbeda.