Diketahui polinomial p(x) dibagi oleh (x+1) dan (x-3)

-3x

Pembahasan

Diketahui polinomial p(x) jika dibagi oleh (x+1) bersisa 3, dan jika dibagi oleh (x-3) bersisa -9. Kita ingin mencari sisa pembagian p(x) oleh x^2 - 2x - 3.

Misalkan sisa pembagian p(x) oleh x^2 - 2x - 3 adalah (ax + b). Maka, berdasarkan teorema sisa:

p(x) = (x^2 - 2x - 3) Q(x) + (ax + b)

Kita bisa memfaktorkan pembaginya: x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1).
Jadi,
p(x) = (x - 3)(x + 1) Q(x) + (ax + b)

Dari informasi yang diberikan:
1. Ketika p(x) dibagi (x+1), sisanya 3. Ini berarti p(-1) = 3.
   Substitusikan x = -1 ke dalam persamaan:
p(-1) = (-1 - 3)(-1 + 1) Q(-1) + (a(-1) + b)
p(-1) = (-4)(0) Q(-1) + (-a + b)
3 = 0 + (-a + b)
-a + b = 3  ..... (Persamaan 1)

2. Ketika p(x) dibagi (x-3), sisanya -9. Ini berarti p(3) = -9.
   Substitusikan x = 3 ke dalam persamaan:
p(3) = (3 - 3)(3 + 1) Q(3) + (a(3) + b)
p(3) = (0)(4) Q(3) + (3a + b)
-9 = 0 + (3a + b)
3a + b = -9 ..... (Persamaan 2)

Sekarang kita punya sistem dua persamaan linear dengan dua variabel (a dan b):
(1) -a + b = 3
(2) 3a + b = -9

Untuk menyelesaikan sistem ini, kita bisa mengurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
(3a + b) - (-a + b) = -9 - 3
3a + b + a - b = -12
4a = -12
a = -12 / 4
a = -3

Substitusikan nilai a = -3 ke dalam Persamaan 1:
-(-3) + b = 3
3 + b = 3
b = 3 - 3
b = 0

Jadi, sisa pembagian polinomial p(x) oleh x^2 - 2x - 3 adalah (ax + b) = (-3x + 0) = -3x.