Diketahui proyeksi vektor a pada vektor b sama dengan

15 derajat atau 105 derajat

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan konsep proyeksi vektor dan sudut antara dua vektor.

Diketahui:
1. Proyeksi vektor a pada vektor b sama dengan proyeksi vektor c pada vektor b.
2. 2 . a . b = √2 |a||b|
3. 2 . c . b = |c||b|

Dari definisi proyeksi skalar vektor a pada vektor b adalah (a . b) / |b|.
Dari kondisi 1, maka:
(a . b) / |b| = (c . b) / |b|
a . b = c . b

Dari kondisi 2, kita tahu bahwa:
2 . a . b = √2 |a||b|
(a . b) / |a||b| = √2 / 2
cos(θ_ab) = 1/√2
Ini berarti sudut antara vektor a dan b (θ_ab) adalah 45 derajat.

Dari kondisi 3, kita tahu bahwa:
2 . c . b = |c||b|
(c . b) / |c||b| = 1/2
cos(θ_cb) = 1/2
Ini berarti sudut antara vektor c dan b (θ_cb) adalah 60 derajat.

Kita memiliki:
a . b = |a||b| cos(θ_ab)
c . b = |c||b| cos(θ_cb)

Karena a . b = c . b, maka:
|a||b| cos(θ_ab) = |c||b| cos(θ_cb)
|a| cos(45°) = |c| cos(60°)
|a| (1/√2) = |c| (1/2)
|a| / √2 = |c| / 2
2|a| = √2 |c|
|a| = (√2 / 2) |c|

Sekarang kita ingin mencari sudut antara vektor a dan c (θ_ac).
Kita gunakan hubungan a . b = c . b
Kita bisa menulis ulang a . b = |a||b| cos(θ_ab) dan c . b = |c||b| cos(θ_cb).

Kita tahu bahwa cos(θ_ab) = √2 / 2 dan cos(θ_cb) = 1/2.

Perhatikan bahwa a . b = c . b dapat ditulis sebagai:
(a - c) . b = 0
Ini berarti vektor (a - c) tegak lurus terhadap vektor b.

Misalkan θ_ac adalah sudut antara vektor a dan c.
Kita dapat menggunakan aturan kosinus pada segitiga yang dibentuk oleh vektor a, c, dan a-c. Namun, kita tidak memiliki informasi tentang magnitudo vektor a dan c secara absolut.

Mari kita gunakan sifat dot product lebih lanjut:
a . b = c . b

Kita tahu sudut antara a dan b adalah 45°, dan sudut antara c dan b adalah 60°.
Karena a . b = c . b, dan kita dapat mengasumsikan |b| ≠ 0.
Maka a . (b/|b|) = c . (b/|b|).
Proyeksi a pada arah b sama dengan proyeksi c pada arah b.

Jika kita menganggap vektor b berada pada sumbu x, maka b = (k, 0) untuk k > 0.
Misalkan a = (|a|cos(45°), |a|sin(45°))
Misalkan c = (|c|cos(60°), |c|sin(60°))

a . b = |a|cos(45°) * k
c . b = |c|cos(60°) * k

Karena a . b = c . b, maka:
|a|cos(45°) * k = |c|cos(60°) * k
|a| (√2/2) = |c| (1/2)
|a|√2 = |c|

Sekarang kita cari sudut antara a dan c.
cos(θ_ac) = (a . c) / (|a||c|)
Kita tidak bisa menghitung a . c secara langsung.

Mari kita kembali ke (a - c) . b = 0.
Ini berarti bahwa vektor a - c tegak lurus terhadap b. 

Namun, kita perlu mencari sudut antara a dan c, bukan sudut antara a-c dan b.

Karena proyeksi a pada b sama dengan proyeksi c pada b, ini menyiratkan bahwa komponen vektor a dan c pada arah b adalah sama.

cos(θ_ac) = cos(θ_ab - θ_cb) atau cos(θ_ac) = cos(θ_cb - θ_ab).
Ini hanya berlaku jika vektor a, b, dan c berada dalam satu bidang dan sudut diukur dari arah yang sama.

Kita tahu bahwa:
a . b = |a||b| cos(45°)
c . b = |c||b| cos(60°)
Dan a . b = c . b.

Maka |a| cos(45°) = |c| cos(60°).
|a| (√2/2) = |c| (1/2) => |a|√2 = |c|.

Kita mencari sudut θ_ac.
cos(θ_ac) = (a . c) / (|a||c|).

Kita tidak memiliki informasi langsung tentang a . c.
Namun, jika kita mempertimbangkan vektor satuan u_b = b / |b|.
Maka a . u_b = c . u_b.
Ini berarti komponen a searah u_b sama dengan komponen c searah u_b.

Mari kita pertimbangkan kemungkinan geometri. Misalkan vektor b mengarah ke kanan. Vektor a membuat sudut 45° dengan b, dan vektor c membuat sudut 60° dengan b. Karena proyeksinya sama, ini berarti |a| cos(45°) = |c| cos(60°).

Jika vektor a dan c berada pada sisi yang berlawanan dari b, maka sudut antara a dan c adalah 45° + 60° = 105°.
Jika vektor a dan c berada pada sisi yang sama dari b, maka sudut antara a dan c adalah |60° - 45°| = 15°.

Karena tidak ada informasi tambahan mengenai posisi relatif vektor a dan c terhadap b, kedua kemungkinan sudut ini valid.

Namun, soal meminta 'besar sudut yang dibentuk vektor a dan vektor c'. Ini biasanya merujuk pada sudut terkecil antara dua vektor, yaitu antara 0° dan 180°.

Jika kita kembali ke (a - c) . b = 0, ini berarti vektor a - c tegak lurus terhadap b. Ini tidak secara langsung memberi kita sudut antara a dan c.

Mari kita gunakan kembali hubungan |a|√2 = |c|.
cos(θ_ac) = (a . c) / (|a||c|) = (a . c) / (|a| * |a|√2) = (a . c) / (√2 |a|^2).

Kita perlu mencari a . c. 
Kita tahu a . b = c . b.
Misalkan a = (a1, a2), b = (b1, b2), c = (c1, c2).

Misalkan vektor b = (1, 0). Maka |b| = 1.
Proyeksi a pada b = a . b / |b| = a1.
Proyeksi c pada b = c . b / |b| = c1.
Maka a1 = c1.

Jika a1 = c1, maka:
|a| cos(45°) = a1
|c| cos(60°) = c1
Karena a1 = c1, maka |a| cos(45°) = |c| cos(60°).
|a| (√2/2) = |c| (1/2) => |a|√2 = |c|.

Sudut antara a dan c adalah θ_ac.
cos(θ_ac) = (a . c) / (|a||c|)
a = (a1, a2)
c = (c1, c2) = (a1, c2)

a . c = a1*c1 + a2*c2 = a1^2 + a2*c2.

Kita tahu |a|^2 = a1^2 + a2^2.
Kita tahu |c|^2 = c1^2 + c2^2 = a1^2 + c2^2.
Karena |c| = |a|√2, maka |c|^2 = 2|a|^2.
2|a|^2 = a1^2 + c2^2.
2(a1^2 + a2^2) = a1^2 + c2^2.
2a1^2 + 2a2^2 = a1^2 + c2^2.
a1^2 + 2a2^2 = c2^2.

cos(θ_ac) = (a1^2 + a2*c2) / (|a| * |a|√2).

Ini menjadi rumit. Mari kita gunakan sudut.
Kita tahu sudut a terhadap b adalah 45°, dan sudut c terhadap b adalah 60°.

Kasus 1: a dan c berada di sisi yang berlawanan dari b.
Sudut antara a dan c adalah 45° + 60° = 105°.

Kasus 2: a dan c berada di sisi yang sama dari b.
Sudut antara a dan c adalah |60° - 45°| = 15°.

Karena tidak ada informasi lain, kedua nilai ini mungkin benar. Namun, dalam konteks soal fisika atau matematika dasar, biasanya yang dicari adalah sudut terkecil jika tidak ditentukan.

Mari kita cek kembali hubungan (a-c).b = 0.
Ini berarti a-c tegak lurus b.
Kuadrat magnitudo |a-c|^2 = |a|^2 + |c|^2 - 2 a.c.
|a-c|^2 = |a-c|^2.
(a-c).(a-c) = |a|^2 + |c|^2 - 2 a.c.

Jika (a-c) tegak lurus b, maka (a-c).b = 0. Ini tidak membantu mencari sudut antara a dan c.

Kembali ke proyeksi. Proyeksi vektor a pada vektor b sama dengan proyeksi vektor c pada vektor b. Ini berarti komponen kedua vektor tersebut dalam arah yang sama (arah vektor b) adalah sama.

Misalkan arah vektor b adalah arah sumbu x positif.
Maka a = (|a| cos(45°), |a| sin(45°))
c = (|c| cos(±60°), |c| sin(±60°))

Karena proyeksi sama, |a| cos(45°) = |c| cos(±60°).
|a| (√2/2) = |c| (1/2) => |a|√2 = |c|.

Jika sudut c adalah +60° (di atas sumbu x, sama sisi dengan a):
Sudut antara a dan c adalah 60° - 45° = 15°.

Jika sudut c adalah -60° (di bawah sumbu x, berlawanan sisi dengan a):
Sudut antara a dan c adalah 45° - (-60°) = 105°.

Karena soal tidak memberikan informasi tentang arah relatif vektor a dan c terhadap vektor b, maka kedua kemungkinan sudut (15° dan 105°) adalah benar. Namun, jika diasumsikan sudut yang ditanyakan adalah sudut terkecil, maka jawabannya adalah 15 derajat.