Diketahui segitiga ABC sama kaki dengan AB=AC, panjang BC=a

$\sqrt{b^2 + 2a^2}$

Pembahasan

Diketahui segitiga ABC sama kaki dengan AB=AC. Panjang BC=a dan AB=b. Titik D terletak pada perpanjangan BC sehingga BC=CD. Kita perlu menghitung panjang AD.

Karena segitiga ABC sama kaki dengan AB=AC, maka sudut ABC = sudut ACB.
Karena D terletak pada perpanjangan BC sehingga BC=CD, maka D berada di luar segitiga ABC pada sisi yang sama dengan A relatif terhadap garis BC.
Karena BC=CD, maka C adalah titik tengah BD.

Dalam segitiga ABC, kita bisa menggunakan aturan kosinus untuk mencari hubungan antar sisi dan sudut. Misalkan sudut ACB = $\gamma$. Maka sudut ABC = $\gamma$.

Dalam segitiga ACD, kita memiliki sisi AC = b, CD = a, dan sudut ACD = 180 - $\gamma$ (karena sudut ACB dan ACD adalah sudut berpelurus).

Menggunakan aturan kosinus pada segitiga ACD untuk mencari AD:
$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 * AC * CD * cos(sudut ACD)$
$AD^2 = b^2 + a^2 - 2 * b * a * cos(180 - \gamma)$
Karena $cos(180 - \gamma) = -cos(\gamma)$, maka:
$AD^2 = b^2 + a^2 - 2 * b * a * (-cos(\gamma))$
$AD^2 = b^2 + a^2 + 2ab * cos(\gamma)$

Sekarang, kita perlu mencari nilai $cos(\gamma)$ dari segitiga ABC. Kita bisa menggunakan aturan kosinus pada segitiga ABC:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos(sudut ACB)$
$b^2 = b^2 + a^2 - 2 * b * a * cos(\gamma)$
$0 = a^2 - 2ab * cos(\gamma)$
$2ab * cos(\gamma) = a^2$
$cos(\gamma) = a^2 / (2ab)$
$cos(\gamma) = a / (2b)$

Sekarang substitusikan nilai $cos(\gamma)$ kembali ke persamaan untuk $AD^2$:
$AD^2 = b^2 + a^2 + 2ab * (a / (2b))$
$AD^2 = b^2 + a^2 + a^2$
$AD^2 = b^2 + 2a^2$
$AD = \sqrt{b^2 + 2a^2}$

Jadi, panjang AD adalah $\sqrt{b^2 + 2a^2}$.