Diketahui suku banyak f(x)=2x^4+(p+2)x^2+qx-8. Jika f(x)

Sisa pembagiannya adalah -87x - 89

Pembahasan

Kita diberikan f(x) = 2x^4 + (p+2)x^2 + qx - 8.
Ketika f(x) dibagi (x+1), sisanya -2. Menurut teorema sisa:
f(-1) = 2(-1)^4 + (p+2)(-1)^2 + q(-1) - 8 = -2
2 + (p+2) - q - 8 = -2
p - q - 4 = -2
p - q = 2 (Persamaan 1)

Ketika f(x) dibagi (x-2), sisanya 22:
f(2) = 2(2)^4 + (p+2)(2)^2 + q(2) - 8 = 22
2(16) + (p+2)(4) + 2q - 8 = 22
32 + 4p + 8 + 2q - 8 = 22
4p + 2q + 32 = 22
4p + 2q = -10
2p + q = -5 (Persamaan 2)

Menyelesaikan Persamaan 1 dan 2:
Dari Persamaan 1: q = p - 2
Substitusikan ke Persamaan 2:
2p + (p - 2) = -5
3p = -3
p = -1
Maka, q = -1 - 2 = -3.

Jadi, f(x) = 2x^4 + (-1+2)x^2 + (-3)x - 8 = 2x^4 + x^2 - 3x - 8.

Kita perlu mencari sisa pembagian f(x) oleh (x-p)(x-q), yaitu (x-(-1))(x-(-3)) = (x+1)(x+3) = x^2 + 4x + 3.
Misalkan sisa pembagian adalah Ax + B.
 f(x) = (x^2 + 4x + 3) h(x) + Ax + B
f(-1) = A(-1) + B = -A + B = -2 (dari informasi awal)
f(-3) = A(-3) + B = -3A + B

Untuk mencari f(-3):
f(-3) = 2(-3)^4 + (-3)^2 - 3(-3) - 8
f(-3) = 2(81) + 9 + 9 - 8
f(-3) = 162 + 9 + 9 - 8 = 172

Maka, -3A + B = 172.

Menyelesaikan sistem persamaan:
-A + B = -2
-3A + B = 172
Kurangkan persamaan pertama dari kedua:
(-3A + B) - (-A + B) = 172 - (-2)
-2A = 174
A = -87

Substitusikan A ke persamaan pertama:
-(-87) + B = -2
87 + B = -2
B = -89

Jadi, sisa pembagiannya adalah -87x - 89.