Diketahui tan gamma=-4/3 dan gamma sudut tumpul

Nilainya adalah 23/5.

Pembahasan

Diketahui $\tan \gamma = -4/3$ dan $\gamma$ adalah sudut tumpul, yang berarti $90^{\circ} < \gamma < 180^{\circ}$. Kuadran II adalah tempat di mana $\tan \gamma$ negatif, yang konsisten dengan informasi yang diberikan.

Kita perlu menghitung nilai dari $\frac{\sin \gamma+\cos \gamma-\tan \gamma}{\sec \gamma+\csc \gamma-\cot \gamma}$.

Langkah 1: Tentukan nilai $\sin \gamma$ dan $\cos \gamma$.
Karena $\tan \gamma = \frac{\text{depan}}{\text{samping}} = \frac{-4}{3}$, kita bisa membayangkan sebuah segitiga siku-siku di mana sisi depan adalah 4 dan sisi samping adalah 3. Sisi miring (hipotenusa) dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras: $miring = \sqrt{samping^2 + depan^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Karena $\gamma$ berada di kuadran II:
- $\sin \gamma$ bernilai positif.
- $\cos \gamma$ bernilai negatif.

Maka:
$\sin \gamma = \frac{\text{depan}}{\text{miring}} = \frac{4}{5}$
$\cos \gamma = \frac{\text{samping}}{\text{miring}} = \frac{-3}{5}$

Langkah 2: Tentukan nilai $\sec \gamma$, $\csc \gamma$, dan $\cot \gamma$.
$\sec \gamma = \frac{1}{\cos \gamma} = \frac{1}{-3/5} = -\frac{5}{3}$
$\csc \gamma = \frac{1}{\sin \gamma} = \frac{1}{4/5} = \frac{5}{4}$
$\cot \gamma = \frac{1}{\tan \gamma} = \frac{1}{-4/3} = -\frac{3}{4}$

Langkah 3: Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam ekspresi yang diminta:
$\frac{\sin \gamma+\cos \gamma-\tan \gamma}{\sec \gamma+\csc \gamma-\cot \gamma} = \frac{\frac{4}{5} + (-\frac{3}{5}) - (-\frac{4}{3})}{(-\frac{5}{3}) + \frac{5}{4} - (-\frac{3}{4})}$

Sederhanakan pembilang:
$\frac{4}{5} - \frac{3}{5} + \frac{4}{3} = \frac{1}{5} + \frac{4}{3} = \frac{3}{15} + \frac{20}{15} = \frac{23}{15}$

Sederhanakan penyebut:
$-\frac{5}{3} + \frac{5}{4} + \frac{3}{4} = -\frac{5}{3} + \frac{8}{4} = -\frac{5}{3} + 2 = -\frac{5}{3} + \frac{6}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 4: Bagi pembilang dengan penyebut:
$\frac{\frac{23}{15}}{\frac{1}{3}} = \frac{23}{15} \times \frac{3}{1} = \frac{23 \times 3}{15} = \frac{23 \times 1}{5} = \frac{23}{5}$

Jadi, nilai dari $\frac{\sin \gamma+\cos \gamma-\tan \gamma}{\sec \gamma+\csc \gamma-\cot \gamma}$ adalah $\frac{23}{5}$.