Diketahui vektor AB=(-2 -4 2) dan vektor BC=(2 1 1).

30°

Pembahasan

Untuk menentukan besar sudut BAC, kita perlu menggunakan konsep vektor. Diketahui vektor AB = (-2, -4, 2) dan vektor BC = (2, 1, 1).

Kita ingin mencari besar sudut BAC. Sudut BAC adalah sudut yang dibentuk oleh vektor AB dan vektor AC.

Pertama, kita perlu mencari vektor AC. Kita tahu bahwa vektor AC dapat dihitung dari vektor AB dan BC:
AC = AB + BC
AC = (-2, -4, 2) + (2, 1, 1)
AC = (-2+2, -4+1, 2+1)
AC = (0, -3, 3)

Sekarang kita memiliki vektor AB = (-2, -4, 2) dan vektor AC = (0, -3, 3).

Untuk mencari besar sudut antara dua vektor, kita gunakan rumus dot product (hasil kali titik):
AB · AC = |AB| |AC| cos(θ)
dimana θ adalah sudut antara vektor AB dan AC (yaitu sudut BAC).

Pertama, hitung dot product AB · AC:
AB · AC = (-2)(0) + (-4)(-3) + (2)(3)
AB · AC = 0 + 12 + 6
AB · AC = 18

Selanjutnya, hitung panjang (magnitude) dari vektor AB:
|AB| = √((-2)² + (-4)² + 2²)
|AB| = √(4 + 16 + 4)
|AB| = √24
|AB| = √(4 × 6)
|AB| = 2√6

Selanjutnya, hitung panjang (magnitude) dari vektor AC:
|AC| = √(0² + (-3)² + 3²)
|AC| = √(0 + 9 + 9)
|AC| = √18
|AC| = √(9 × 2)
|AC| = 3√2

Sekarang kita masukkan nilai-nilai ini ke dalam rumus dot product:
AB · AC = |AB| |AC| cos(BAC)
18 = (2√6) (3√2) cos(BAC)
18 = 6√12 cos(BAC)
18 = 6√(4 × 3) cos(BAC)
18 = 6 × 2√3 cos(BAC)
18 = 12√3 cos(BAC)

Sekarang, cari cos(BAC):
cos(BAC) = 18 / (12√3)
cos(BAC) = 3 / (2√3)
Untuk merasionalkan penyebut, kalikan dengan √3/√3:
cos(BAC) = (3√3) / (2√3 × √3)
cos(BAC) = (3√3) / (2 × 3)
cos(BAC) = (3√3) / 6
cos(BAC) = √3 / 2

Untuk mencari besar sudut BAC, kita cari invers kosinus dari √3 / 2:
BAC = arccos(√3 / 2)
BAC = 30°

Jadi, besar sudut BAC adalah 30°.