Nilai maksimum dari f(x) = 4 sin 3x - 5 cos 3x adalah....

Nilai maksimumnya adalah akar kuadrat dari 41.

Pembahasan

Fungsi yang diberikan adalah f(x) = 4 sin 3x - 5 cos 3x. Bentuk ini dapat diubah menjadi bentuk R sin(ωx + α) atau R cos(ωx + β).

Kita bisa menggunakan identitas:
$a \sin(kx) + b \cos(kx) = R \sin(kx + \alpha)$, di mana $R = 	extrm{sqrt}(a^2 + b^2)$, $\cos(\alpha) = a/R$, dan $\sin(\alpha) = b/R$.

Dalam kasus ini, a = 4, b = -5, dan k = 3.

Maka, $R = 	extrm{sqrt}(4^2 + (-5)^2) = 	extrm{sqrt}(16 + 25) = 	extrm{sqrt}(41)$.

Jadi, f(x) = $	extrm{sqrt}(41) \sin(3x + \alpha)$, di mana $\cos(\alpha) = 4/	extrm{sqrt}(41)$ dan $\sin(\alpha) = -5/	extrm{sqrt}(41)$.

Nilai maksimum dari fungsi sinus adalah 1. Oleh karena itu, nilai maksimum dari f(x) adalah $R * 1 = 	extrm{sqrt}(41)$.

Cara lain adalah dengan menggunakan turunan untuk mencari nilai maksimum.
$f'(x) = d/dx (4 \sin 3x - 5 \cos 3x)$
$f'(x) = 4 \cos(3x) * 3 - 5 (-\sin(3x)) * 3$
$f'(x) = 12 \cos(3x) + 15 \sin(3x)$

Untuk mencari nilai maksimum, kita atur $f'(x) = 0$:
$12 \cos(3x) + 15 \sin(3x) = 0$
$15 \sin(3x) = -12 \cos(3x)$
$	an(3x) = -12/15 = -4/5$

Jika $	an(3x) = -4/5$, kita bisa membentuk segitiga siku-siku di mana sisi depan adalah 4 dan sisi samping adalah 5. Sisi miringnya adalah $	extrm{sqrt}(4^2 + 5^2) = 	extrm{sqrt}(16 + 25) = 	extrm{sqrt}(41)$.

Ada dua kemungkinan kuadran untuk $3x$ di mana $	an(3x)$ negatif (Kuadran II dan IV).

Jika $3x$ di Kuadran II, $\sin(3x) = 4/	extrm{sqrt}(41)$ dan $\cos(3x) = -5/	extrm{sqrt}(41)$.
$f(x) = 4(4/	extrm{sqrt}(41)) - 5(-5/	extrm{sqrt}(41)) = 16/	extrm{sqrt}(41) + 25/	extrm{sqrt}(41) = 41/	extrm{sqrt}(41) = 	extrm{sqrt}(41)$.

Jika $3x$ di Kuadran IV, $\sin(3x) = -4/	extrm{sqrt}(41)$ dan $\cos(3x) = 5/	extrm{sqrt}(41)$.
$f(x) = 4(-4/	extrm{sqrt}(41)) - 5(5/	extrm{sqrt}(41)) = -16/	extrm{sqrt}(41) - 25/	extrm{sqrt}(41) = -41/	extrm{sqrt}(41) = -	extrm{sqrt}(41)$.

Nilai maksimumnya adalah $	extrm{sqrt}(41)$.