Dua buah vektor masing-masing: p=3i+2j+k q=2i-4j+5k

Nilai kosinus sudut antara vektor p dan q adalah $\\frac{\sqrt{70}}{70}$.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai kosinus sudut antara dua vektor, kita dapat menggunakan rumus hasil kali titik (dot product):
$p \cdot q = |p| |q| \cos \theta$
Mana $\\theta$ adalah sudut antara vektor p dan q.

Diketahui vektor $p = 3i + 2j + k$ dan $q = 2i - 4j + 5k$. Dalam bentuk komponen, vektor-vektor ini adalah $p = (3, 2, 1)$ dan $q = (2, -4, 5)$.

Langkah 1: Hitung hasil kali titik (dot product) p dan q.
$p \cdot q = (p_x \times q_x) + (p_y \times q_y) + (p_z \times q_z)$
$p \cdot q = (3 \times 2) + (2 \times -4) + (1 \times 5)$
$p \cdot q = 6 - 8 + 5$
$p \cdot q = 3$

Langkah 2: Hitung magnitudo (panjang) dari vektor p.
$|p| = \sqrt{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}$
$|p| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2}$
$|p| = \sqrt{9 + 4 + 1}$
$|p| = \sqrt{14}$

Langkah 3: Hitung magnitudo (panjang) dari vektor q.
$|q| = \sqrt{q_x^2 + q_y^2 + q_z^2}$
$|q| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 5^2}$
$|q| = \sqrt{4 + 16 + 25}$
$|q| = \sqrt{45}$
$|q| = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$

Langkah 4: Gunakan rumus hasil kali titik untuk mencari cosinus sudutnya.
$p \cdot q = |p| |q| \cos \theta$
$3 = (\sqrt{14}) (3\sqrt{5}) \cos \theta$
$3 = 3 \sqrt{14 \times 5} \cos \theta$
$3 = 3 \sqrt{70} \cos \theta$
$\\cos \theta = \frac{3}{3 \sqrt{70}}$
$\\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{70}}$
Untuk merasionalkan penyebut:
$\\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{70}} \times \frac{\sqrt{70}}{\sqrt{70}} = \frac{\sqrt{70}}{70}$

Jadi, nilai kosinus sudut antara kedua vektor tersebut adalah $\\frac{\sqrt{70}}{70}$.