Five identical rectangles are arrange to form a larger

35

Pembahasan

Misalkan panjang dari setiap persegi panjang identik adalah $x$ dan lebarnya adalah $y$.

Dari gambar, kita dapat melihat bahwa panjang sisi PQ dari persegi panjang besar PQRS dibentuk oleh dua kali panjang ($x$) dari persegi panjang identik dan satu kali lebar ($y$) dari persegi panjang identik. Jadi, $PQ = 2x + y$.
Lebar sisi PS dari persegi panjang besar PQRS dibentuk oleh lebar ($y$) dari persegi panjang identik. Jadi, $PS = y$.

Namun, ada kesalahan interpretasi dalam deskripsi soal jika hanya ada satu gambar yang disertakan, karena gambar tersebut tidak menyediakan cukup informasi untuk mengaitkan $x$ dengan dimensi persegi panjang besar PQRS.

Mari kita asumsikan struktur umum dari penempatan lima persegi panjang identik yang membentuk persegi panjang yang lebih besar:

Kemungkinan 1: Lima persegi panjang disusun berjajar horizontal, maka persegi panjang besar memiliki panjang $5x$ dan lebar $y$. (Ini tidak sesuai dengan penempatan yang dijelaskan dengan PQRS).

Kemungkinan 2: Tiga persegi panjang disusun vertikal di satu sisi, dan dua di sisi lain, seperti tangga. Ini juga tidak membentuk persegi panjang besar yang rapi.

Kemungkinan 3 (Paling Umum untuk Soal Semacam Ini): Empat persegi panjang identik membentuk bingkai luar, dan satu persegi panjang identik di tengahnya. Atau, dua persegi panjang identik disusun berdampingan secara horizontal, dan di bawahnya disusun tiga persegi panjang identik secara vertikal.

Tanpa gambar yang jelas, saya akan mengasumsikan tata letak yang paling umum untuk soal ini:

Misalkan persegi panjang besar PQRS memiliki panjang $L$ dan lebar $W$.
Lima persegi panjang identik dengan panjang $x$ dan lebar $y$. 

Skenario yang umum adalah: 
Persegi panjang besar memiliki dimensi $L = x + y$ dan $W = 2x$, atau sebaliknya. Atau, $L = 3x$ dan $W = 2y$ (jika ada 2 di atas, 3 di bawah).

Namun, deskripsi "PQRS, as shown. The area of PQRS is 4000. The length, x, of the identical rectangles is closest to .... P Q x S x R" menyiratkan bahwa $x$ adalah salah satu dimensi dari persegi panjang kecil, dan PQRS adalah persegi panjang besar.

Mari kita coba interpretasi yang paling mungkin berdasarkan gambar yang tersirat dari penempatan $P, Q, x, S, x, R$: PQRS adalah persegi panjang besar.

Misalkan panjang dari persegi panjang identik adalah $l$ dan lebarnya adalah $w$. Dalam soal ini, $x$ adalah panjang ($l = x$).

Kita asumsikan tata letak di mana dua persegi panjang identik diletakkan secara vertikal berdampingan, dan di sebelah kanannya ada tiga persegi panjang identik yang disusun membentuk bagian yang lebih tinggi. Ini tidak membentuk persegi panjang besar. 

Interpretasi lain yang mungkin: Persegi panjang besar PQRS, dengan sisi PQ dan SR sebagai panjang, dan PS dan QR sebagai lebar.
Jika $x$ adalah panjang dari persegi panjang kecil, dan $y$ adalah lebar dari persegi panjang kecil.

Mari kita asumsikan gambar menunjukkan persegi panjang besar yang dibentuk oleh 5 persegi panjang identik, dengan tata letak sebagai berikut:
Dua persegi panjang identik disusun secara horizontal berdampingan. Di atas atau di bawahnya, tiga persegi panjang identik disusun sedemikian rupa sehingga membentuk persegi panjang yang lebih besar.

Kemungkinan tata letak: 
Persegi panjang besar memiliki panjang $L$ dan lebar $W$. 
Lima persegi panjang identik (panjang $x$, lebar $y$).

Jika $L = 3x$ dan $W = y + x$ (misalnya, 3 persegi panjang disusun vertikal, dan di sampingnya ada 2 persegi panjang yang disusun horizontal, tapi ini tidak membentuk persegi panjang besar).

Mari kita pertimbangkan tata letak di mana:
Persegi panjang besar PQRS, dengan sisi $PQ = L$ dan $PS = W$.
Dalam tata letak umum, $L$ bisa merupakan $x+y$ atau $2x$, dan $W$ bisa merupakan $y$ atau $x$. 

Jika kita melihat notasi $P Q x S x R$, ini bisa berarti bahwa $PQ$ adalah panjang, $PS$ adalah lebar. $x$ mungkin adalah panjang dari persegi panjang kecil, dan $y$ adalah lebarnya.

Skenario paling umum untuk 5 persegi panjang identik membentuk persegi panjang besar adalah: 
Persegi panjang besar memiliki dimensi $3y 	imes (x+y)$ atau $2y 	imes (2x+y)$ atau variasi lainnya. 

Asumsikan penataan yang paling umum: Persegi panjang besar dibentuk oleh 2 persegi panjang identik secara vertikal, dan 3 persegi panjang identik secara horizontal di bawahnya (atau sebaliknya).

Jika 2 persegi panjang identik disusun vertikal, maka lebarnya adalah $2y$ dan panjangnya adalah $x$. 
Jika 3 persegi panjang identik disusun horizontal, maka panjangnya adalah $3x$ dan lebarnya adalah $y$. 

Ini tidak akan membentuk persegi panjang besar yang koheren kecuali dimensi cocok.

Mari kita coba penataan lain: Persegi panjang besar dibentuk oleh 3 persegi panjang identik secara vertikal, dan 2 persegi panjang identik secara horizontal di sampingnya.

Jika 3 persegi panjang identik disusun vertikal, maka lebarnya adalah $3y$ dan panjangnya adalah $x$.
Jika 2 persegi panjang identik disusun horizontal, maka panjangnya adalah $2x$ dan lebarnya adalah $y$.

Agar ini membentuk persegi panjang besar, lebarnya harus sama: $3y = y 
ightarrow 2y = 0 
ightarrow y=0$ (tidak mungkin).
Atau, panjangnya harus sama: $x = 2x 
ightarrow x=0$ (tidak mungkin).

Kemungkinan lain yang sering muncul adalah:
Persegi panjang besar memiliki sisi $L$ dan $W$. Luas $L 	imes W = 4000$. 
Lima persegi panjang identik (panjang $x$, lebar $y$).

Dalam tata letak umum, persegi panjang besar dibentuk oleh: 
Satu baris vertikal $y$, $y$, $y$ (total $3y$) dan di sampingnya ada $x$, $x$ (total $2x$). Agar ini menyatu, $3y = x+x 
ightarrow 3y=2x$. 
Atau, satu baris vertikal $x$, $x$ (total $2x$) dan di sampingnya ada $y$, $y$, $y$ (total $3y$). Agar ini menyatu, $2x = y+y+y 
ightarrow 2x=3y$. Ini adalah hubungan yang sama.

Jadi, kita punya: $2x = 3y$. Maka $y = \frac{2}{3}x$.

Persegi panjang besar memiliki dimensi: Panjang $L = 3y = 2x$, dan Lebar $W = x+y = x + \frac{2}{3}x = \frac{5}{3}x$. 
Atau, Panjang $L = x+y = \frac{5}{3}x$, dan Lebar $W = 2x$. 

Luas PQRS = $L 	imes W = (2x) 	imes (\frac{5}{3}x) = \frac{10}{3}x^2$.

Kita tahu Luas PQRS = 4000.
$\frac{10}{3}x^2 = 4000$
$x^2 = 4000 \times \frac{3}{10}$
$x^2 = 400 \times 3$
$x^2 = 1200$
$x = \sqrt{1200} = \sqrt{400 \times 3} = 20\sqrt{3}$.

$20\sqrt{3} \approx 20 \times 1.732 = 34.64$.

Nilai $x$ yang terdekat adalah 34.64.

Mari kita periksa hubungan $2x=3y$. $y = \frac{2}{3}x = \frac{2}{3}(20\sqrt{3}) = \frac{40\sqrt{3}}{3}$.

Dimensi persegi panjang besar: $L = 2x = 40\sqrt{3}$ dan $W = \frac{5}{3}x = \frac{5}{3}(20\sqrt{3}) = \frac{100\sqrt{3}}{3}$.
Luas = $40\sqrt{3} \times \frac{100\sqrt{3}}{3} = \frac{4000 \times 3}{3} = 4000$. Ini cocok.

Jadi, nilai $x$ adalah $20\sqrt{3}$, yang kira-kira 34.64.

Jika tata letaknya berbeda, misalnya 4 persegi panjang di sekeliling dan 1 di tengah. Misal $x$ adalah panjang dan $y$ adalah lebar.
Persegi panjang besar memiliki panjang $x+2y$ dan lebar $y+2y=3y$. 
Atau panjang $y+2x$ dan lebar $x+2x=3x$. 

Jika $L=x+2y$ dan $W=3y$, maka $x+2y$ harus sama dengan $3y$ agar menjadi persegi. Tapi PQRS adalah persegi panjang.

Asumsikan tata letak di mana satu sisi panjang PQRS adalah $L$ dan sisi lebar PS adalah $W$. 
Jika $L = x+y$ dan $W=2x$ (dua persegi panjang vertikal di samping satu persegi panjang horizontal). Ini tidak cocok.

Kembali ke asumsi $2x=3y$. Ini adalah konfigurasi paling umum yang menghasilkan persegi panjang besar dari 5 persegi panjang identik.

Panjang persegi panjang besar: $L = 2x$. Lebar persegi panjang besar: $W = x+y$. Dengan $y = \frac{2}{3}x$, maka $W = x + \frac{2}{3}x = \frac{5}{3}x$.
Luas $= L 	imes W = (2x)(\frac{5}{3}x) = \frac{10}{3}x^2 = 4000$.
$x^2 = 1200 
ightarrow x = \sqrt{1200} = 20\sqrt{3} \approx 34.64$.

Kemungkinan lain: Panjang persegi panjang besar $L = x+y$, Lebar $W = x+y+x = 2x+y$. Ini juga tidak cocok.

Jika penataan adalah 1 persegi panjang horizontal di atas, 2 persegi panjang vertikal di bawahnya, dan 2 persegi panjang horizontal di samping. Ini menjadi kompleks.

Mari kita percayai asumsi $2x = 3y$ yang paling umum untuk konfigurasi ini.

Nilai $x$ adalah $20\sqrt{3}$.
$20\sqrt{3} = \sqrt{400 \times 3} = \sqrt{1200}$.
$30^2 = 900$
$35^2 = 1225$
Jadi $x$ sedikit kurang dari 35.
$34^2 = 1156$
$34.6^2 \approx 1197.16$
$34.7^2 \approx 1204.09$

Jadi $x \approx 34.6$. Pilihan terdekat kemungkinan adalah 35.