Fungsi f ditentukan oleh f(x)=(4x-3)/(2x+1), x=/=-1/2 Jika

$f^{-1}(x+1) = \frac{x+4}{2-2x}$.

Pembahasan

Untuk mencari invers dari fungsi $f(x) = \frac{4x-3}{2x+1}$, kita ikuti langkah-langkah berikut:

Misalkan $y = f(x)$. Maka:
$y = \frac{4x-3}{2x+1}$

Ganti $y$ dengan $x$ dan $x$ dengan $f^{-1}(x)$ (atau $y$ untuk memudahkan aljabar):
$x = \frac{4y-3}{2y+1}$

Sekarang, kita perlu menyelesaikan persamaan ini untuk $y$ untuk mendapatkan $f^{-1}(x)$.

Kalikan kedua sisi dengan $(2y+1)$:
$x(2y+1) = 4y-3$

Distribusikan $x$ di sisi kiri:
$2xy + x = 4y - 3$

Kumpulkan semua suku yang mengandung $y$ di satu sisi dan suku lainnya di sisi lain. Mari kita pindahkan $4y$ ke kiri dan $x$ ke kanan:
$2xy - 4y = -x - 3$

Faktorkan $y$ dari suku-suku di sisi kiri:
$y(2x - 4) = -x - 3$

Bagi kedua sisi dengan $(2x - 4)$ untuk menyelesaikan $y$:
$y = \frac{-x - 3}{2x - 4}$

Ini adalah fungsi invers $f^{-1}(x)$. Kita bisa menyederhanakannya dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan -1:
$f^{-1}(x) = \frac{-(-x - 3)}{-(2x - 4)} = \frac{x + 3}{-2x + 4} = \frac{x + 3}{4 - 2x}$

Sekarang, kita perlu mencari $f^{-1}(x+1)$. Ganti setiap kemunculan $x$ dalam ekspresi $f^{-1}(x)$ dengan $(x+1)$:
$f^{-1}(x+1) = \frac{(x+1) + 3}{4 - 2(x+1)}$

Sederhanakan pembilang:
$(x+1) + 3 = x + 4$

Sederhanakan penyebut:
$4 - 2(x+1) = 4 - (2x + 2) = 4 - 2x - 2 = 2 - 2x$

Jadi, $f^{-1}(x+1) = \frac{x + 4}{2 - 2x}$

Kita juga bisa menulis ulang penyebutnya sebagai $2(1-x)$, sehingga:
$f^{-1}(x+1) = \frac{x + 4}{2(1 - x)}$

Perhatikan bahwa domain dari $f^{-1}(x+1)$ adalah semua bilangan real kecuali $1-x=0$, yaitu $x 
eq 1$.