Fungsi f: R -> R dan g: R -> R ditentukan oleh f(x)=2x-10

n=10 (dengan asumsi ada kesalahan dalam soal)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari invers dari fungsi f(x) terlebih dahulu. Fungsi f(x) = 2x - 10. Misalkan y = f(x), maka y = 2x - 10. Untuk mencari inversnya, kita tukar x dan y, sehingga x = 2y - 10. Kemudian, kita selesaikan untuk y: x + 10 = 2y, sehingga y = (x + 10)/2. Jadi, f^(-1)(x) = (x + 10)/2.

Selanjutnya, kita cari komposisi fungsi (fog)(x) dan (f^(-1)og)(x).
(fog)(x) = f(g(x)) = f(x + n) = 2(x + n) - 10 = 2x + 2n - 10.
(f^(-1)og)(x) = f^(-1)(g(x)) = f^(-1)(x + n) = ((x + n) + 10)/2 = (x + n + 10)/2.

Karena (fog)(x) = (f^(-1)og)(x), maka:
2x + 2n - 10 = (x + n + 10)/2
Kalikan kedua sisi dengan 2:
4x + 4n - 20 = x + n + 10
Pindahkan semua variabel ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain:
4x - x + 4n - n = 10 + 20
3x + 3n = 30
Bagi kedua sisi dengan 3:
x + n = 10

Karena persamaan ini harus berlaku untuk semua nilai x, maka koefisien x di kedua sisi harus sama (yaitu 1 = 0), yang tidak mungkin. Namun, jika kita mengasumsikan bahwa kesamaan (fog)(x)=(f^(-1)og)(x) berarti bahwa kedua fungsi tersebut identik untuk semua x, maka koefisien x dan konstanta harus sama.

Perhatikan kembali: 2x + 2n - 10 = (1/2)x + (n+10)/2.
Agar kedua sisi sama untuk semua x, maka koefisien x harus sama dan konstanta harus sama.
Koefisien x: 2 = 1/2, ini tidak benar.

Mari kita periksa kembali asumsi penyelesaian soal.
Jika (fog)(x) = (f^(-1)og)(x), maka:
2x + 2n - 10 = (x + n + 10)/2
Ini berarti bahwa 2x + 2n - 10 = (1/2)x + (n+10)/2.
Agar kesamaan ini berlaku untuk semua nilai x, maka koefisien x harus sama dan konstanta juga harus sama.

Koefisien x:
2 = 1/2 (Ini jelas salah, yang menunjukkan ada kemungkinan kesalahan dalam soal atau interpretasi soal).

Jika kita menginterpretasikan soal sebagai mencari nilai n sehingga f(g(x)) = f^(-1)(g(x)) untuk suatu x tertentu, maka kita tidak bisa menyelesaikan tanpa mengetahui nilai x.

Namun, jika kita berasumsi bahwa soal ini bermaksud mencari nilai n sehingga kedua fungsi hasil komposisi adalah identik (yaitu, sama untuk setiap x), maka ada inkonsistensi dalam koefisien x.

Mari kita coba pendekatan lain. Jika f(g(x)) = f^(-1)(g(x)), maka salah satu kemungkinan adalah g(x) adalah titik tetap dari f dan f^(-1) pada saat yang sama, tetapi ini tidak umum.

Asumsikan ada kesalahan ketik dan yang dimaksud adalah f(g(x)) = g(f^(-1)(x)) atau f(g(x)) = f(g^(-1)(x)), dll.

Dengan informasi yang diberikan, jika kita harus mencari nilai n, dan persamaan 2x + 2n - 10 = (x + n + 10)/2 harus berlaku untuk semua x, maka kita bisa menyamakan koefisien x dan konstanta.
Koefisien x: 2 = 1/2 (Tidak mungkin).

Jika kita mengabaikan koefisien x dan hanya menyamakan konstanta setelah menghilangkan x:
2n - 10 = (n + 10)/2
4n - 20 = n + 10
3n = 30
n = 10.

Mari kita cek jika n=10:
f(x) = 2x - 10
g(x) = x + 10
f^(-1)(x) = (x+10)/2
(fog)(x) = f(x+10) = 2(x+10) - 10 = 2x + 20 - 10 = 2x + 10.
(f^(-1)og)(x) = f^(-1)(x+10) = ((x+10)+10)/2 = (x+20)/2 = x/2 + 10.

Dengan n=10, 2x+10 = x/2 + 10, yang berarti 2x = x/2, atau 3x/2 = 0, yang hanya berlaku jika x=0.

Kemungkinan besar ada kesalahan dalam penulisan soal. Namun, jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan interpretasi bahwa konstanta harus sama setelah menyamakan koefisien x (meskipun koefisien x tidak sama), maka n=10.

Revisi: Mari kita asumsikan bahwa soal tersebut benar dan kita perlu mencari nilai n agar kesamaan berlaku. Jika dua fungsi polinomial identik, maka koefisien dari suku yang bersesuaian harus sama. Dalam kasus ini, kita punya:
2x + (2n - 10) = (1/2)x + (n + 10)/2
Menyamakan koefisien x: 2 = 1/2, yang kontradiksi.

Jika kita mengasumsikan bahwa soal ini sebenarnya mencari nilai n sehingga f(g(x)) = f^(-1)(y) untuk suatu y yang bergantung pada x dan n, atau ada informasi lain yang hilang. Namun, berdasarkan bentuk soal yang umum, jika dua fungsi dinyatakan sama, itu berarti mereka identik untuk semua x.

Mengingat inkonsistensi, kita coba cari sumber soal serupa atau klarifikasi. Jika tidak ada, kita bisa menyimpulkan soal tidak memiliki solusi atau ada kesalahan.

Namun, jika kita terpaksa memberikan jawaban, dan seringkali dalam soal olimpiade atau latihan ada kesalahan ketik, kita bisa pertimbangkan apakah ada kesalahan dalam fungsi f atau g.

Misalkan jika f(x) = ax+b dan g(x)=cx+d.
(fog)(x) = a(cx+d)+b = acx + ad+b
f^(-1)(x) = (x-b)/a
(f^(-1)og)(x) = (cx+d-b)/a = (c/a)x + (d-b)/a

Dalam soal kita: f(x)=2x-10 (a=2, b=-10), g(x)=x+n (c=1, d=n).
(fog)(x) = 2(x+n)-10 = 2x + 2n - 10
(f^(-1)og)(x) = ((x+n)-(-10))/2 = (x+n+10)/2 = (1/2)x + (n+10)/2.

Agar 2x + 2n - 10 = (1/2)x + (n+10)/2 identik, maka:
2 = 1/2 (Kontradiksi)
2n - 10 = (n+10)/2
4n - 20 = n + 10
3n = 30
n = 10.

Karena kontradiksi pada koefisien x, soal ini tidak memiliki solusi seperti yang tertulis jika diartikan sebagai identitas fungsi untuk semua x. Jika soal ini berasal dari konteks tertentu di mana kesamaan hanya perlu berlaku untuk satu nilai x, maka soal tersebut tidak lengkap.

Namun, jika kita melihat pola soal serupa, terkadang ada kesalahan penulisan di mana seharusnya $f(x) = ax+b$ dan $g(x) = cx+d$ sehingga $ac=c/a$. Dalam kasus ini $2 	imes 1 = 1/2$, yang tidak memenuhi.

Jika kita asumsikan bahwa yang dimaksud adalah $f(g(x)) = g(f^{-1}(x))$, maka:
$2x + 2n - 10 = (2x - 10) + n = 2x - 10 + n$.
$2n - 10 = -10 + n$
$n = 0$.

Jika kita asumsikan bahwa yang dimaksud adalah $f(g(x)) = f^{-1}(g(x))$ dan ada kesalahan pada $f^{-1}(x)$, misalnya $f(x) = ax+b 
ightarrow f^{-1}(x) = (x-b)/a$. Jika $f(x) = ax+b$, maka $f^{-1}(x) = rac{1}{a}x - rac{b}{a}$.
Dalam kasus ini, $f(x) = 2x-10$, $a=2$, $b=-10$. Maka $f^{-1}(x) = rac{1}{2}x - rac{-10}{2} = rac{1}{2}x + 5$.

Sekarang kita hitung $(f^{-1}og)(x)$ dengan $f^{-1}(x) = rac{1}{2}x + 5$ dan $g(x) = x+n$.
$(f^{-1}og)(x) = f^{-1}(x+n) = rac{1}{2}(x+n) + 5 = rac{1}{2}x + rac{n}{2} + 5$.

Kita punya $(fog)(x) = 2x + 2n - 10$.
Menyamakan $(fog)(x) = (f^{-1}og)(x)$:
$2x + 2n - 10 = rac{1}{2}x + rac{n}{2} + 5$.
Menyamakan koefisien x:
$2 = rac{1}{2}$, ini masih kontradiksi.

Mari kita cek kembali perhitungan invers f(x).
$y = 2x - 10$
$x = 2y - 10$
$x + 10 = 2y$
$y = rac{x+10}{2}$. Ini sudah benar.

Kesimpulan: Berdasarkan analisis matematis, soal ini tampaknya memiliki kesalahan penulisan karena menghasilkan kontradiksi pada koefisien variabel x ketika menyamakan dua fungsi hasil komposisi. Jika terpaksa harus ada jawaban, dan mengabaikan ketidaksesuaian koefisien x, penyelesaian konstanta menghasilkan n=10. Namun, ini tidak secara matematis membenarkan kesamaan fungsi tersebut untuk semua x.

Mengacu pada beberapa sumber soal serupa, terkadang ada asumsi bahwa jika $f(g(x)) = h(g(x))$, maka $f(y) = h(y)$ untuk semua y dalam domain g. Dalam kasus ini, $f(y) = 2y-10$ dan $f^{-1}(y) = (y+10)/2$. Maka $2y-10 = (y+10)/2$. $4y-20 = y+10 
ightarrow 3y=30 
ightarrow y=10$. Ini berarti $g(x)=10$. Karena $g(x)=x+n$, maka $x+n=10$. Ini tidak memberikan nilai n tunggal tanpa mengetahui x.

Jika kita mengasumsikan bahwa kesamaan $f(g(x)) = f^{-1}(g(x))$ harus berlaku untuk semua x, maka $f(y) = f^{-1}(y)$ di mana $y=g(x)$. Dari $f(y) = f^{-1}(y)$, kita dapatkan $2y-10 = (y+10)/2$, yang menghasilkan $y=10$. Jadi, $g(x)$ harus selalu bernilai 10. $x+n=10$. Agar ini berlaku untuk semua x, ini tidak mungkin kecuali jika $g(x)$ adalah fungsi konstan, yang mana $g(x)=x+n$ bukan fungsi konstan. Ini memperkuat dugaan adanya kesalahan pada soal.

Mari kita coba jika $f(x)=ax+b$ dan $g(x)=cx+d$ dan $f(g(x)) = f^{-1}(g(x))$. Maka $a(cx+d)+b = rac{cx+d-b}{a}$.
$acx + ad+b = rac{c}{a}x + rac{d-b}{a}$.
Agar identik, $ac = c/a$ dan $ad+b = (d-b)/a$.
Dalam soal: $a=2, b=-10, c=1, d=n$.
$ac = 2(1)=2$. $c/a = 1/2$. $2 
eq 1/2$. Ini kontradiksi.

Jika kita mengasumsikan ada kesalahan dalam penulisan $f^{-1}$. Misalkan $f(x) = 2x-10$. $g(x) = x+n$. $(fog)(x) = 2(x+n)-10 = 2x+2n-10$. Misalkan $(gof)(x)=(gof)(x)$. $(gof)(x) = g(f(x)) = g(2x-10) = (2x-10)+n = 2x-10+n$. $2x+2n-10 = 2x-10+n 
ightarrow 2n=n 
ightarrow n=0$.

Mungkin yang dimaksud adalah $(fog)(x) = (gof)(x)$? Jika ya, maka n=0.

Mengacu pada soal asli, saya akan berpegang pada $(fog)(x)=(f^{-1}og)(x)$. Dengan $f(x)=2x-10$ dan $g(x)=x+n$. Hasilnya adalah $2x+2n-10 = (x+n+10)/2$. Karena koefisien x tidak cocok, soal ini tidak memiliki solusi umum. Namun, jika dipaksa mencari n, dan mengabaikan bagian x, n=10.

Saya akan memberikan jawaban berdasarkan asumsi bahwa ada kesalahan dalam soal dan mencari nilai n yang membuat bagian konstanta sama setelah memanipulasi persamaan.
$2x + 2n - 10 = rac{1}{2}x + rac{n+10}{2}$
Anggap $2x = rac{1}{2}x$ (walaupun salah), maka kita samakan $2n-10 = rac{n+10}{2}$.
$4n - 20 = n + 10$
$3n = 30$
$n = 10$.