integral dari 0 pi / 2 (sin 2 x)/(akar(cos x+1))=.... a.

Hasil integral adalah 2/3, yang tidak terdapat pada pilihan jawaban.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral tentu dari 0 hingga pi/2 untuk fungsi (sin^2 x) / sqrt(cos x + 1) dx, kita dapat melakukan substitusi. Misalkan u = cos x, maka du = -sin x dx. Namun, ini tidak langsung menyederhanakan sin^2 x. Cara yang lebih umum adalah menggunakan identitas trigonometri.

Mari kita ubah soalnya sedikit agar lebih mudah dikerjakan, asumsi soal adalah $\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^{2}x}{\sqrt{\cos x+1}}dx$

Kita tahu bahwa $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Jadi integralnya menjadi:
$\int_{0}^{\pi/2} \frac{1 - \cos^2 x}{\sqrt{\cos x+1}}dx$

Ini masih kompleks. Mari kita coba substitusi lain. Misalkan $u = \sqrt{\cos x+1}$. Maka $u^2 = \cos x+1$, sehingga $\cos x = u^2 - 1$. Turunannya adalah $-\sin x dx = 2u du$.

Untuk $\sin^2 x$, kita punya $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - (u^2-1)^2 = 1 - (u^4 - 2u^2 + 1) = 2u^2 - u^4$.

Batas integrasi:
Jika $x = 0$, maka $u = \sqrt{\cos 0 + 1} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
Jika $x = \pi/2$, maka $u = \sqrt{\cos(\pi/2) + 1} = \sqrt{0+1} = 1$.

Substitusi ke dalam integral:
$\int_{\sqrt{2}}^{1} \frac{2u^2 - u^4}{u} \frac{2u du}{- \sin x}$

Kita perlu mengganti $-\sin x$. Dari $u^2 = \cos x + 1$, kita punya $\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - (u^2-1)^2} = \sqrt{1 - (u^4 - 2u^2 + 1)} = \sqrt{2u^2 - u^4}$. Jadi $-\sin x dx = -\sqrt{2u^2 - u^4} dx$. Ini juga tidak membantu.

Mari kita coba substitusi yang berbeda untuk integral $\int \frac{\sin^2 x}{\sqrt{\cos x+1}}dx$.
Kita bisa gunakan $\cos x = 2\cos^2(x/2) - 1$, sehingga $\cos x + 1 = 2\cos^2(x/2)$. Maka $\sqrt{\cos x+1} = \sqrt{2}\cos(x/2)$ (karena $x \in [0, \pi/2]$, maka $x/2 \in [0, \pi/4]$, di mana $\cos(x/2) > 0$).

Juga, $\sin^2 x = (2\sin(x/2)\cos(x/2))^2 = 4\sin^2(x/2)\cos^2(x/2)$.

Integral menjadi: $\int \frac{4\sin^2(x/2)\cos^2(x/2)}{\sqrt{2}\cos(x/2)}dx = \int \frac{4\sin^2(x/2)\cos(x/2)}{\sqrt{2}}dx$.

Sekarang, substitusi $u = \sin(x/2)$. Maka $du = \frac{1}{2}\cos(x/2)dx$, sehingga $\cos(x/2)dx = 2du$.

Integral menjadi: $\int \frac{4u^2}{\sqrt{2}} (2du) = \int \frac{8u^2}{\sqrt{2}}du = 4\sqrt{2} \int u^2 du = 4\sqrt{2} \frac{u^3}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3} \sin^3(x/2)$.

Sekarang kita evaluasi integral tentu dari 0 hingga pi/2:
$[rac{4\sqrt{2}}{3} \sin^3(x/2)]_{0}^{\pi/2}$

Saat $x = \pi/2$: $\frac{4\sqrt{2}}{3} \sin^3(\pi/4) = \frac{4\sqrt{2}}{3} (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \frac{4\sqrt{2}}{3} \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Saat $x = 0$: $\frac{4\sqrt{2}}{3} \sin^3(0) = 0$.

Hasil integralnya adalah $2/3$. Sepertinya ada kesalahan dalam soal atau pilihan jawaban karena $2/3$ tidak ada di pilihan.

Mari kita periksa kembali soalnya, apakah ada kemungkinan salah ketik? Jika soalnya $\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sqrt{\cos x+1}}dx$, maka:
Misal $u = \cos x + 1$, $du = -\sin x dx$.
Batas: $x=0 \implies u=2$, $x=\pi/2 \implies u=1$.
$\int_{2}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}} (-\frac{du}{1}) = \int_{1}^{2} u^{-1/2} du = [2u^{1/2}]_{1}^{2} = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{1} = 2\sqrt{2}-2$.
Ini juga tidak ada di pilihan.

Kembali ke soal asli: $\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{\sqrt{\cos x+1}}dx$. Jawaban yang paling mendekati (jika ada kesalahan pembulatan atau trik lain) bisa jadi perlu diperiksa.

Mari kita coba pendekatan lain. Gunakan $\cos x = 1-2\sin^2(x/2)$ tidak tepat. $\cos x = 1 - 2\sin^2(x/2)$ benar, tetapi $\sin^2 x = 1-\cos^2 x$. 

Jika kita gunakan $\cos x = 2\cos^2(x/2) - 1$, maka $\cos x + 1 = 2\cos^2(x/2)$.
Integral: $\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{\sqrt{2}\cos(x/2)}dx$.
Kita tahu $\sin x = 2\sin(x/2)\cos(x/2)$.
$\int_{0}^{\pi/2} \frac{(2\sin(x/2)\cos(x/2))^2}{\sqrt{2}\cos(x/2)}dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{4\sin^2(x/2)\cos^2(x/2)}{\sqrt{2}\cos(x/2)}dx = \frac{4}{\sqrt{2}} \int_{0}^{\pi/2} \sin^2(x/2)\cos(x/2)dx$.

Substitusi $u = \sin(x/2)$, $du = \frac{1}{2}\cos(x/2)dx \implies \cos(x/2)dx = 2du$.
Batas: $x=0 \implies u=\sin(0)=0$. $x=\pi/2 \implies u=\sin(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Integral menjadi: $2\sqrt{2} \int_{0}^{1/\sqrt{2}} u^2 (2du) = 4\sqrt{2} \int_{0}^{1/\sqrt{2}} u^2 du = 4\sqrt{2} [\frac{u^3}{3}]_{0}^{1/\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \frac{(1/\sqrt{2})^3}{3} = 4\sqrt{2} \frac{1}{2\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Masih $2/3$. Kemungkinan besar pilihan jawaban salah atau soalnya berbeda.

Mari kita periksa pilihan jawaban. Jika kita asumsikan ada kesalahan ketik pada soal dan seharusnya $\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sqrt{\cos x+1}}dx$, hasilnya adalah $2\sqrt{2}-2 \approx 2(1.414) - 2 = 2.828 - 2 = 0.828$.

Jika kita periksa pilihan jawaban:
a. $-(8/3) - (4/3)\sqrt{2} \approx -2.66 - 1.88 = -4.54$
d. $(8/3) - (4/3)\sqrt{2} \approx 2.66 - 1.88 = 0.78$
b. $(4/3) - (4/3)\sqrt{2} \approx 1.33 - 1.88 = -0.55$
e. $(8/3) + (4/3)\sqrt{2} \approx 2.66 + 1.88 = 4.54$
c. $(8/3) - (8/3)\sqrt{2} \approx 2.66 - 3.77 = -1.11$

Pilihan (d) paling mendekati jika hasil integralnya adalah $2\sqrt{2}-2$. Tapi hasil integralnya seharusnya $2/3 \approx 0.667$.

Jika soalnya adalah $\int_{0}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{\sqrt{\cos x+1}}dx$, batas atas $\pi$ akan memberikan $\cos(\pi) = -1$, sehingga $\sqrt{\cos(\pi)+1} = 0$, integralnya menjadi tak terdefinisi.

Mungkin ada kesalahan pada soal, tapi jika harus memilih jawaban yang paling logis berdasarkan pendekatan perhitungan, dan jika ada sedikit perbedaan, maka (d) adalah yang terdekat dengan nilai positif yang masuk akal. Namun, berdasarkan perhitungan yang benar, jawabannya adalah $2/3$.

Karena diminta untuk memberikan jawaban dari soal yang ada, dan perhitungan yang berulang kali menghasilkan $2/3$, serta tidak ada pilihan yang sesuai, maka soal ini kemungkinan memiliki kesalahan.

Jika kita mengasumsikan soalnya adalah $\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x \sqrt{\cos x+1} dx$, ini akan berbeda.

Mengacu pada standar soal kalkulus, ada kemungkinan soalnya ingin menguji identitas atau substitusi tertentu. Tanpa ada klarifikasi atau koreksi pada soal, memberikan jawaban yang pasti dari pilihan yang ada adalah spekulatif.

Namun, jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan kemungkinan terdekat atau interpretasi soal yang mungkin, seringkali ada kesalahan ketik dalam soal ujian.

Mari kita coba manipulasi aljabar lain pada $\frac{\sin^2 x}{\sqrt{\cos x+1}}$.
$\frac{1-\cos^2 x}{\sqrt{\cos x+1}}$.
Misalkan $u=\cos x$, $du = -\sin x dx$. Masih ada $\sin x$ yang tidak bisa dihilangkan dengan mudah.

Kemungkinan besar, ada kesalahan pada soal atau pilihan jawaban. Jawaban yang didapatkan melalui metode substitusi standar adalah $2/3$.