lim x -> 0 ((tan(x+a)-tan x)/a)

Nilai limitnya adalah sec^2(x).

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menghitung nilai dari limit fungsi yang melibatkan tangen. Fungsi yang diberikan adalah lim x -> 0 ((tan(x+a)-tan x)/a). Ini adalah definisi dari turunan fungsi tangen di titik 'a' jika kita menganggap 'x' sebagai perubahan. Namun, jika kita melihatnya sebagai limit terhadap 'a', ini adalah definisi turunan dari tan(x) terhadap x pada x=a, tetapi variabelnya adalah 'a' yang menuju 0, dan di dalam fungsi ada 'x'.  Jika kita menganggap x sebagai variabel dan a sebagai konstanta, maka limit ini tidak terdefinisi dengan baik dalam bentuk ini untuk metode substitusi langsung. Jika kita menganggap 'a' sebagai variabel yang menuju 0, maka ini adalah bentuk tak tentu 0/0. Kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau ekspansi deret Taylor. Menggunakan aturan L'Hopital dengan menurunkan pembilang dan penyebut terhadap 'a': turunan dari tan(x+a) terhadap 'a' adalah sec^2(x+a) * 1, dan turunan dari tan(x) terhadap 'a' adalah 0. Turunan dari 'a' terhadap 'a' adalah 1. Sehingga, limitnya menjadi sec^2(x+0) / 1 = sec^2(x). Jadi, nilai dari lim a -> 0 ((tan(x+a)-tan x)/a) adalah sec^2(x).