Fungsi f(x)=(x^2-5x+2)/(x^2-3x+2) turun pada interval ...

Fungsi turun pada interval $(-\sqrt{2}, 1)$ dan $(1, \sqrt{2})$.

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana fungsi $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 2}{x^2 - 3x + 2}$ turun, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan menentukan di mana $f'(x) < 0$.

Langkah 1: Cari turunan pertama $f'(x)$ menggunakan aturan kuosien.
Misalkan $u = x^2 - 5x + 2$ dan $v = x^2 - 3x + 2$.
Maka $u' = 2x - 5$ dan $v' = 2x - 3$.

$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
$f'(x) = \frac{(2x - 5)(x^2 - 3x + 2) - (x^2 - 5x + 2)(2x - 3)}{(x^2 - 3x + 2)^2}$

$f'(x) = \frac{(2x^3 - 6x^2 + 4x - 5x^2 + 15x - 10) - (2x^3 - 3x^2 - 10x^2 + 15x + 4x - 6)}{(x^2 - 3x + 2)^2}$

$f'(x) = \frac{(2x^3 - 11x^2 + 19x - 10) - (2x^3 - 13x^2 + 19x - 6)}{(x^2 - 3x + 2)^2}$

$f'(x) = \frac{2x^3 - 11x^2 + 19x - 10 - 2x^3 + 13x^2 - 19x + 6}{(x^2 - 3x + 2)^2}$

$f'(x) = \frac{2x^2 - 4}{(x^2 - 3x + 2)^2}$

Langkah 2: Tentukan di mana $f'(x) < 0$.
Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan $\frac{2x^2 - 4}{(x^2 - 3x + 2)^2} < 0$.
Karena penyebut $(x^2 - 3x + 2)^2$ selalu non-negatif (dan tidak boleh nol karena membuat fungsi tidak terdefinisi), maka kita hanya perlu memperhatikan pembilangnya:
$2x^2 - 4 < 0$
$2x^2 < 4$
$x^2 < 2$
$-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$

Selanjutnya, kita perlu mempertimbangkan di mana penyebutnya nol, karena nilai-nilai ini juga memengaruhi interval.
Penyebutnya adalah $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$. Jadi, penyebutnya nol ketika $x = 1$ atau $x = 2$.

Kita perlu menguji tanda $f'(x)$ pada interval yang dibentuk oleh $-\sqrt{2}$, 1, $\sqrt{2}$, dan 2.
Intervalnya adalah: $(-\infty, -\sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}, 1)$, $(1, \sqrt{2})$, $(\sqrt{2}, 2)$, $(2, \infty)$.

Karena kita mencari $f'(x) < 0$, dan kita menemukan bahwa $2x^2 - 4 < 0$ ketika $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$.
Kita harus mengecualikan nilai $x=1$ dari interval ini karena fungsi tidak terdefinisi di sana.
Jadi, interval di mana fungsi turun adalah $-\sqrt{2} < x < 1$ atau $1 < x < \sqrt{2}$.

Namun, jika kita melihat pilihan jawaban yang mungkin (walaupun tidak diberikan di sini), biasanya intervalnya disajikan secara terpadu. Perhatikan bahwa $\sqrt{2} \approx 1.414$.
Jadi, $-\sqrt{2} \approx -1.414$.
Intervalnya adalah $(-1.414, 1)$ dan $(1, 1.414)$.

Jika soal ini berasal dari pilihan ganda, dan salah satu pilihannya adalah interval yang mencakup $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ dengan pengecualian $x=1$ dan $x=2$, maka itulah jawabannya.

Namun, jika kita hanya melihat $2x^2 - 4 < 0$, maka intervalnya adalah $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.
Kita perlu memeriksa apakah nilai $x=1$ dan $x=2$ memengaruhi tanda $f'(x)$ di sekitar interval $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$.
Nilai $x=1$ berada di dalam interval $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$. Nilai $x=2$ berada di luar interval ini.

Mari kita uji titik:
- Untuk $x < -\sqrt{2}$ (misal $x=-2$): $f'(-2) = \frac{2(-2)^2 - 4}{((-2)^2 - 3(-2) + 2)^2} = \frac{8-4}{(4+6+2)^2} = \frac{4}{144} > 0$ (naik)
- Untuk $-\sqrt{2} < x < 1$ (misal $x=0$): $f'(0) = \frac{2(0)^2 - 4}{(0^2 - 3(0) + 2)^2} = \frac{-4}{4} = -1 < 0$ (turun)
- Untuk $1 < x < \sqrt{2}$ (misal $x=1.2$): $f'(1.2) = \frac{2(1.2)^2 - 4}{((1.2)^2 - 3(1.2) + 2)^2} = \frac{2(1.44) - 4}{(1.44 - 3.6 + 2)^2} = \frac{2.88 - 4}{(-0.16)^2} = \frac{-1.12}{0.0256} < 0$ (turun)
- Untuk $\sqrt{2} < x < 2$ (misal $x=1.5$): $f'(1.5) = \frac{2(1.5)^2 - 4}{((1.5)^2 - 3(1.5) + 2)^2} = \frac{2(2.25) - 4}{(2.25 - 4.5 + 2)^2} = \frac{4.5 - 4}{(-0.25)^2} = \frac{0.5}{0.0625} > 0$ (naik)
- Untuk $x > 2$ (misal $x=3$): $f'(3) = \frac{2(3)^2 - 4}{(3^2 - 3(3) + 2)^2} = \frac{18-4}{(9-9+2)^2} = \frac{14}{4} > 0$ (naik)

Jadi, fungsi turun pada interval $(-\sqrt{2}, 1)$ dan $(1, \sqrt{2})$.