Fungsi g(x)=-4cos(x/2-pi/5) dengan 0<=x<=2pi cekung ke

Fungsi cekung ke bawah pada interval (7pi/5, 2pi].

Pembahasan

Untuk menentukan interval cekung ke bawah dari fungsi g(x) = -4cos(x/2 - pi/5), kita perlu mencari turunan kedua dari fungsi tersebut dan menentukan di mana turunan kedua bernilai negatif.

Langkah 1: Cari turunan pertama g'(x).
Turunan dari cos(u) adalah -sin(u) * u'.
Dalam kasus ini, u = x/2 - pi/5, sehingga u' = 1/2.
Maka, g'(x) = -4 * (-sin(x/2 - pi/5)) * (1/2) = 2sin(x/2 - pi/5).

Langkah 2: Cari turunan kedua g''(x).
Turunan dari sin(u) adalah cos(u) * u'.
Maka, g''(x) = 2 * cos(x/2 - pi/5) * (1/2) = cos(x/2 - pi/5).

Langkah 3: Tentukan di mana g''(x) < 0 untuk cekung ke bawah.
Kita perlu menyelesaikan cos(x/2 - pi/5) < 0.

Fungsi cosinus bernilai negatif pada kuadran II dan III.
Jadi, pi/2 < x/2 - pi/5 < 3pi/2.

Tambahkan pi/5 ke semua bagian pertidaksamaan:
pi/2 + pi/5 < x/2 < 3pi/2 + pi/5
7pi/10 < x/2 < 17pi/10

Kalikan semua bagian dengan 2:
7pi/5 < x < 17pi/5

Karena kita dibatasi pada interval 0 <= x <= 2pi, kita perlu melihat di mana interval (7pi/5, 17pi/5) beririsan dengan [0, 2pi].

17pi/5 = 3.4pi, yang lebih besar dari 2pi.
Kita perlu mencari nilai x dalam interval [0, 2pi] di mana cos(x/2 - pi/5) < 0.

Mari kita evaluasi cos(x/2 - pi/5) pada batas-batas yang relevan:
Ketika x = 0, cos(-pi/5) > 0.
Ketika x = 2pi, cos(2pi/2 - pi/5) = cos(pi - pi/5) = cos(4pi/5) < 0.

Nilai cosinus menjadi negatif ketika argumennya berada di antara pi/2 dan 3pi/2.
pi/2 < x/2 - pi/5 < 3pi/2

Tambahkan pi/5 ke semua bagian:
pi/2 + pi/5 < x/2 < 3pi/2 + pi/5
7pi/10 < x/2 < 17pi/10

Kalikan dengan 2:
7pi/5 < x < 17pi/5

Dalam interval 0 <= x <= 2pi:
7pi/5 = 1.4pi
17pi/5 = 3.4pi

Jadi, bagian dari interval (7pi/5, 17pi/5) yang berada dalam [0, 2pi] adalah (7pi/5, 2pi].

Namun, kita juga perlu mempertimbangkan siklus fungsi kosinus. Fungsi cos(θ) < 0 ketika θ berada dalam (π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ) untuk bilangan bulat k.

Jadi, kita ingin π/2 + 2kπ < x/2 - π/5 < 3π/2 + 2kπ.

Menambahkan π/5 ke semua bagian:
π/2 + π/5 + 2kπ < x/2 < 3π/2 + π/5 + 2kπ
7π/10 + 2kπ < x/2 < 17π/10 + 2kπ

Kalikan dengan 2:
7π/5 + 4kπ < x < 17π/5 + 4kπ

Sekarang kita perlu menemukan nilai k sehingga interval ini beririsan dengan [0, 2π].

Untuk k = 0:
7π/5 < x < 17π/5
Karena 17π/5 > 2π, irisan dengan [0, 2π] adalah (7π/5, 2π].

Untuk k = -1:
7π/5 - 4π < x < 17π/5 - 4π
-13π/5 < x < -3π/5
Ini tidak beririsan dengan [0, 2π].

Jadi, interval cekung ke bawah dalam [0, 2π] adalah (7π/5, 2π].