Gunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan notasi

Rumus terbukti benar untuk n=1, dan jika diasumsikan benar untuk k, maka terbukti benar untuk k+1 menggunakan induksi matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan notasi sigma $\sum_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i} = 2 - \frac{n+2}{2^n}$ dengan induksi matematika, kita perlu melakukan tiga langkah:
1. Basis Induksi: Tunjukkan bahwa rumus berlaku untuk n=1.
   Untuk n=1: $\sum_{i=1}^{1} \frac{i}{2^i} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$.
   Sisi kanan: $2 - \frac{1+2}{2^1} = 2 - \frac{3}{2} = \frac{4-3}{2} = \frac{1}{2}$.
   Karena kedua sisi sama, rumus berlaku untuk n=1.

2. Hipotesis Induksi: Asumsikan bahwa rumus berlaku untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu $\sum_{i=1}^{k} \frac{i}{2^i} = 2 - \frac{k+2}{2^k}$.

3. Langkah Induksi: Tunjukkan bahwa rumus berlaku untuk n=k+1, berdasarkan hipotesis induksi.
   Kita perlu menunjukkan bahwa $\sum_{i=1}^{k+1} \frac{i}{2^i} = 2 - \frac{(k+1)+2}{2^{k+1}} = 2 - \frac{k+3}{2^{k+1}}$.
   Mulai dari sisi kiri:
   $\sum_{i=1}^{k+1} \frac{i}{2^i} = (\sum_{i=1}^{k} \frac{i}{2^i}) + \frac{k+1}{2^{k+1}}$
   Gunakan hipotesis induksi:
   $= (2 - \frac{k+2}{2^k}) + \frac{k+1}{2^{k+1}}$
   $= 2 - \frac{2(k+2)}{2^{k+1}} + \frac{k+1}{2^{k+1}}$
   $= 2 - \frac{2k+4}{2^{k+1}} + \frac{k+1}{2^{k+1}}$
   $= 2 - \frac{2k+4 - (k+1)}{2^{k+1}}$
   $= 2 - \frac{2k+4 - k - 1}{2^{k+1}}$
   $= 2 - \frac{k+3}{2^{k+1}}$
   Ini sesuai dengan sisi kanan yang ingin kita buktikan.

Kesimpulan: Dengan prinsip induksi matematika, notasi sigma $\sum_{i=1}^{n} \frac{i}{2^i} = 2 - \frac{n+2}{2^n}$ terbukti benar untuk semua bilangan bulat positif n.