H G E F D C A B Besar sudut antara AH dan CH pada kubus

60 derajat.

Pembahasan

Untuk mencari besar sudut antara AH dan CH pada kubus ABCD, kita perlu membayangkan kubus tersebut. Misalkan panjang rusuk kubus adalah 's'.

AH adalah diagonal ruang kubus.
CH adalah diagonal sisi kubus.

Kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang diagonal ruang dan diagonal sisi.

Misalkan kita tinjau segitiga siku-siku ABC di alas kubus:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = s^2 + s^2 = 2s^2
AC = s√2 (Ini adalah diagonal sisi)

Sekarang, tinjau segitiga siku-siku ACG, di mana CG adalah rusuk tegak:
AG^2 = AC^2 + CG^2
AG^2 = (s√2)^2 + s^2
AG^2 = 2s^2 + s^2 = 3s^2
AG = s√3 (Ini adalah diagonal ruang. Dalam soal Anda, diagonal ruangnya adalah AH, jadi AH = s√3)

Sekarang, mari kita fokus pada segitiga ACH. Kita sudah tahu panjang AH = s√3.
Kita juga perlu mencari panjang CH. CH adalah diagonal sisi yang sama dengan AC, jadi CH = s√2.
Untuk panjang AC, kita sudah hitung di atas AC = s√2.

Jadi, segitiga ACH memiliki sisi-sisi dengan panjang:
AH = s√3
CH = s√2
AC = s√2

Segitiga ACH adalah segitiga sama kaki karena CH = AC.
Untuk mencari sudut antara AH dan CH, kita bisa menggunakan aturan kosinus pada segitiga ACH.

AC^2 = AH^2 + CH^2 - 2 * AH * CH * cos(sudut ACH)
(s√2)^2 = (s√3)^2 + (s√2)^2 - 2 * (s√3) * (s√2) * cos(sudut ACH)
2s^2 = 3s^2 + 2s^2 - 2s^2√6 * cos(sudut ACH)
2s^2 = 5s^2 - 2s^2√6 * cos(sudut ACH)

2s^2√6 * cos(sudut ACH) = 5s^2 - 2s^2
2s^2√6 * cos(sudut ACH) = 3s^2

cos(sudut ACH) = (3s^2) / (2s^2√6)
cos(sudut ACH) = 3 / (2√6)
cos(sudut ACH) = 3√6 / (2 * 6)
cos(sudut ACH) = 3√6 / 12
cos(sudut ACH) = √6 / 4

Sudut ACH = arccos(√6 / 4).

Namun, soal meminta sudut antara AH dan CH. Ini berarti kita perlu sudut di titik H pada segitiga ACH. Mari kita gunakan aturan kosinus untuk mencari sudut di H (sudut AHC).

AC^2 = AH^2 + CH^2 - 2 * AH * CH * cos(sudut AHC)
(s√2)^2 = (s√3)^2 + (s√2)^2 - 2 * (s√3) * (s√2) * cos(sudut AHC)
2s^2 = 3s^2 + 2s^2 - 2 * s^2 * √6 * cos(sudut AHC)
2s^2 = 5s^2 - 2s^2√6 * cos(sudut AHC)
2s^2√6 * cos(sudut AHC) = 3s^2
cos(sudut AHC) = 3s^2 / (2s^2√6)
cos(sudut AHC) = 3 / (2√6)
cos(sudut AHC) = 3√6 / 12
cos(sudut AHC) = √6 / 4

Sudut AHC = arccos(√6 / 4). Ini adalah sudut antara dua diagonal ruang dan diagonal sisi yang bertemu pada satu titik.

Mari kita cek kembali interpretasi soal. Besar sudut antara AH (diagonal ruang) dan CH (diagonal sisi). Titik A, H, dan C membentuk segitiga. Kita perlu sudut di antara dua vektor AH dan CH. Kita bisa menggunakan dot product jika kita menempatkan kubus di koordinat.

Misalkan A=(0,0,0), B=(s,0,0), D=(0,s,0), C=(s,s,0), E=(0,0,s), F=(s,0,s), G=(s,s,s), H=(0,s,s).

AH = H - A = (0,s,s)
CH = H - C = (0,s,s) - (s,s,0) = (-s, 0, s)

AH · CH = |AH| |CH| cos(theta)
(0)(-s) + (s)(0) + (s)(s) = (√(0^2+s^2+s^2)) * (√((-s)^2+0^2+s^2)) * cos(theta)
s^2 = (√(2s^2)) * (√(2s^2)) * cos(theta)
s^2 = (s√2) * (s√2) * cos(theta)
s^2 = 2s^2 * cos(theta)

cos(theta) = s^2 / (2s^2)
cos(theta) = 1/2

 theta = arccos(1/2) = 60 derajat.

Jadi, besar sudut antara AH dan CH pada kubus ABCD adalah 60 derajat.