Himpunan penyelesaian 3 cos (360 - x)> 2 sin^2 x untuk 0

\(0 < x < 60^{\circ}\) atau \(300^{\circ} < x < 360^{\circ}\)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan \(3 \cos(360^{\circ} - x) > 2 \sin^2 x\), kita perlu menyederhanakan kedua sisi pertidaksamaan terlebih dahulu.\n\nPertama, kita tahu bahwa \(\cos(360^{\circ} - x) = \cos x\). Jadi, sisi kiri menjadi \(3 \cos x\).\n\nKedua, kita gunakan identitas \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) untuk sisi kanan.\n\nPertidaksamaan menjadi \(3 \cos x > 2(1 - \cos^2 x)\).\n\nSekarang, kita susun ulang pertidaksamaan tersebut menjadi bentuk kuadrat dalam \(\cos x\):\n\(3 \cos x > 2 - 2 \cos^2 x\)\n\(2 \cos^2 x + 3 \cos x - 2 > 0\)\n\nMisalkan \(y = \cos x\). Pertidaksamaan menjadi \(2y^2 + 3y - 2 > 0\).\n\nKita cari akar-akar dari persamaan \(2y^2 + 3y - 2 = 0\) menggunakan pemfaktoran atau rumus kuadratik.\n\n\((2y - 1)(y + 2) = 0\)\n\nJadi, akar-akarnya adalah \(y = 1/2\) dan \(y = -2\).\n\nKarena \(y = \cos x\), maka \(\cos x = 1/2\) atau \(\cos x = -2\).\n\nNilai \(\cos x = -2\) tidak mungkin karena rentang nilai \(\cos x\) adalah \([-1, 1]\).\n\nKita fokus pada \(\cos x = 1/2\). Dalam interval \(0 < x < 360^{\circ}\), nilai \(x\) yang memenuhi \(\cos x = 1/2\) adalah \(x = 60^{\circ}\) dan \(x = 300^{\circ}\).\n\nSekarang, kita perlu menentukan di mana \(2 \cos^2 x + 3 \cos x - 2 > 0\). Kita bisa menguji interval antara akar-akar \(1/2\) dan \(-2\). Karena \(y = \cos x\), kita memiliki \(\cos x = 1/2\) dan \(\cos x = -2\). Interval yang perlu kita perhatikan adalah ketika \(\cos x < -2\) (tidak mungkin) atau \(\cos x > 1/2\).\n\nDalam interval \(0 < x < 360^{\circ}\), \(\cos x > 1/2\) terjadi ketika \(0 < x < 60^{\circ}\) atau \(300^{\circ} < x < 360^{\circ}\).\n
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \(0 < x < 60^{\circ}\) atau \(300^{\circ} < x < 360^{\circ}\).