Himpunan penyelesaian dari cos x=sin 3x, untuk 0<=x<=360

Himpunan penyelesaiannya adalah {$22.5^\circ, 45^\circ, 112.5^\circ, 202.5^\circ, 225^\circ, 292.5^\circ$}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\cos x = \sin 3x$, kita perlu mengubah salah satu fungsi trigonometri agar basisnya sama. Kita tahu bahwa $\sin \theta = \cos(90^\circ - \theta)$. Jadi, $\sin 3x = \cos(90^\circ - 3x)$.

Persamaan menjadi:
$\cos x = \cos(90^\circ - 3x)$

Untuk persamaan $\cos A = \cos B$, solusinya adalah $A = \pm B + k 	imes 360^\circ$, di mana $k$ adalah bilangan bulat.

Kasus 1: $x = (90^\circ - 3x) + k 	imes 360^\circ$
$x + 3x = 90^\circ + k 	imes 360^\circ$
$4x = 90^\circ + k 	imes 360^\circ$
$x = \frac{90^\circ}{4} + \frac{k 	imes 360^\circ}{4}$
$x = 22.5^\circ + k 	imes 90^\circ$

Untuk $0^\circ \le x \le 360^\circ$:
*   $k=0$: $x = 22.5^\circ$
*   $k=1$: $x = 22.5^\circ + 90^\circ = 112.5^\circ$
*   $k=2$: $x = 22.5^\circ + 180^\circ = 202.5^\circ$
*   $k=3$: $x = 22.5^\circ + 270^\circ = 292.5^\circ$
*   $k=4$: $x = 22.5^\circ + 360^\circ = 382.5^\circ$ (tidak termasuk)

Kasus 2: $x = -(90^\circ - 3x) + k 	imes 360^\circ$
$x = -90^\circ + 3x + k 	imes 360^\circ$
$x - 3x = -90^\circ + k 	imes 360^\circ$
$-2x = -90^\circ + k 	imes 360^\circ$
$x = \frac{-90^\circ}{-2} - \frac{k 	imes 360^\circ}{2}$
$x = 45^\circ - k 	imes 180^\circ$

Karena $k$ bisa bilangan bulat positif atau negatif, kita bisa menulisnya sebagai $x = 45^\circ + m 	imes 180^\circ$ (dengan $m = -k$).

Untuk $0^\circ \le x \le 360^\circ$:
*   $m=0$: $x = 45^\circ$
*   $m=1$: $x = 45^\circ + 180^\circ = 225^\circ$
*   $m=2$: $x = 45^\circ + 360^\circ = 405^\circ$ (tidak termasuk)

Himpunan penyelesaiannya adalah gabungan dari kedua kasus:
$x \in \{22.5^\circ, 45^\circ, 112.5^\circ, 202.5^\circ, 225^\circ, 292.5^\circ \}$.

Dalam radian, $22.5^\circ = \frac{\pi}{8}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $112.5^\circ = \frac{5\pi}{8}$, $202.5^\circ = \frac{9\pi}{8}$, $225^\circ = \frac{5\pi}{4}$, $292.5^\circ = \frac{13\pi}{8}$.