Himpunan penyelesaian persamaan 2 cos 2x - 3 cos x + 1 = 0

Himpunan penyelesaiannya adalah nilai-nilai x di mana cos x = -1/4 dalam interval 0 < x < 2π.

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan persamaan trigonometri 2 cos 2x - 3 cos x + 1 = 0 untuk 0 < x < 2π.

Gunakan identitas trigonometri cos 2x = 2 cos^2 x - 1:
2(2 cos^2 x - 1) - 3 cos x + 1 = 0
4 cos^2 x - 2 - 3 cos x + 1 = 0
4 cos^2 x - 3 cos x - 1 = 0

Misalkan y = cos x, maka persamaan menjadi:
4y^2 - 3y - 1 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
(4y + 1)(y - 1) = 0

Jadi, solusi untuk y adalah:
4y + 1 = 0  => y = -1/4
y - 1 = 0   => y = 1

Kembalikan y ke cos x:
1. cos x = 1
   Dalam interval 0 < x < 2π, nilai x yang memenuhi adalah x = 0 (namun karena tidak termasuk dalam interval, kita abaikan). Jika intervalnya inklusif, maka x=0 dan x=2π.
   Namun, jika kita menganggap 0 < x < 2π, maka tidak ada solusi untuk cos x = 1.
   (Catatan: Seringkali dalam soal seperti ini, interval mencakup 0 dan 2π, atau 0 < x <= 2π. Jika demikian, maka x=0 dan x=2π adalah solusi. Namun, berdasarkan soal yang diberikan, kita hanya mempertimbangkan nilai di antara 0 dan 2π).

2. cos x = -1/4
   Dalam interval 0 < x < 2π, ada dua sudut di kuadran II dan III yang memiliki nilai cosinus -1/4.
   Misalkan α adalah sudut di kuadran I sehingga cos α = 1/4. Nilai α ≈ 1,3181 radian.
   Maka solusi untuk cos x = -1/4 adalah:
   x = π - α ≈ 3.1416 - 1.3181 ≈ 1.8235 radian (kuadran II)
   x = π + α ≈ 3.1416 + 1.3181 ≈ 4.4597 radian (kuadran III)

Himpunan penyelesaian untuk 0 < x < 2π adalah himpunan nilai x di mana cos x = -1/4. Nilai pasti dari sudut-sudut ini biasanya dinyatakan dalam bentuk invers kosinus atau perkiraan desimal.

Himpunan penyelesaian: {x | cos x = -1/4, 0 < x < 2π}
Secara perkiraan: {1.8235, 4.4597}