Hitung jumlah Riemann untuk fungsi f(x)=x^2-2x pada

175/27

Pembahasan

Untuk menghitung jumlah Riemann dari fungsi $f(x) = x^2 - 2x$ pada interval $[1, 3]$ yang dibagi menjadi enam selang bagian sama dengan $x_i$ sebagai titik tengah:\n\n1.  **Tentukan lebar setiap selang bagian (Δx):**\n    Panjang interval = $b - a = 3 - 1 = 2$.\n    Jumlah selang bagian ($n$) = 6.\n    $Δx = (b - a) / n = 2 / 6 = 1/3$.\n\n2.  **Tentukan titik tengah setiap selang bagian ($x_i^*$):**\n    Selang bagian pertama: $[1, 1 + 1/3] = [1, 4/3]$. Titik tengah ($x_1^*$) = $(1 + 4/3) / 2 = (7/3) / 2 = 7/6$.\n    Selang bagian kedua: $[4/3, 4/3 + 1/3] = [4/3, 5/3]$. Titik tengah ($x_2^*$) = $(4/3 + 5/3) / 2 = (9/3) / 2 = 3$.\n    Selang bagian ketiga: $[5/3, 5/3 + 1/3] = [5/3, 6/3] = [5/3, 2]$. Titik tengah ($x_3^*$) = $(5/3 + 2) / 2 = (11/3) / 2 = 11/6$.\n    Selang bagian keempat: $[2, 2 + 1/3] = [2, 7/3]$. Titik tengah ($x_4^*$) = $(2 + 7/3) / 2 = (13/3) / 2 = 13/6$.\n    Selang bagian kelima: $[7/3, 7/3 + 1/3] = [7/3, 8/3]$. Titik tengah ($x_5^*$) = $(7/3 + 8/3) / 2 = (15/3) / 2 = 5$.\n    Selang bagian keenam: $[8/3, 3]$. Titik tengah ($x_6^*$) = $(8/3 + 3) / 2 = (17/3) / 2 = 17/6$.\n\n3.  **Hitung nilai fungsi di setiap titik tengah ($f(x_i^*)$):**\n    $f(x) = x^2 - 2x$\n    $f(7/6) = (7/6)^2 - 2(7/6) = 49/36 - 14/6 = 49/36 - 84/36 = -35/36$.\n    $f(3) = 3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3$.\n    $f(11/6) = (11/6)^2 - 2(11/6) = 121/36 - 22/6 = 121/36 - 132/36 = -11/36$.\n    $f(13/6) = (13/6)^2 - 2(13/6) = 169/36 - 26/6 = 169/36 - 156/36 = 13/36$.\n    $f(5) = 5^2 - 2(5) = 25 - 10 = 15$.\n    $f(17/6) = (17/6)^2 - 2(17/6) = 289/36 - 34/6 = 289/36 - 204/36 = 85/36$.\n\n4.  **Jumlahkan hasil perkalian lebar selang bagian dengan nilai fungsi di titik tengah:**\n    Jumlah Riemann = $\sum_{i=1}^{6} f(x_i^*) Δx$\n    Jumlah Riemann = $Δx [f(x_1^*) + f(x_2^*) + f(x_3^*) + f(x_4^*) + f(x_5^*) + f(x_6^*)]$\n    Jumlah Riemann = $(1/3) [-35/36 + 3 + (-11/36) + 13/36 + 15 + 85/36]$\n    Jumlah Riemann = $(1/3) [(-35 - 11 + 13 + 85)/36 + (3 + 15)]$\n    Jumlah Riemann = $(1/3) [52/36 + 18]$\n    Jumlah Riemann = $(1/3) [13/9 + 162/9]$\n    Jumlah Riemann = $(1/3) [175/9]$\n    Jumlah Riemann = $175/27$\n\nJadi, jumlah Riemann untuk fungsi $f(x)=x^2-2x$ pada interval $[1,3]$ dibagi menjadi enam selang bagian sama, dengan $x_i$ adalah titik tengah, adalah $175/27$.