Jika integral 1 4 f(x) dx=6, maka nilai integral 1 4 f(5-x)

Nilai integralnya adalah 6.

Pembahasan

Diberikan informasi bahwa $\int_{1}^{4} f(x) dx = 6$.
Kita diminta untuk mencari nilai dari $\int_{1}^{4} f(5-x) dx$.

Untuk menyelesaikan integral ini, kita dapat menggunakan metode substitusi.
Misalkan $u = 5 - x$.
Maka, turunan dari u terhadap x adalah $\frac{du}{dx} = -1$, yang berarti $dx = -du$.

Selanjutnya, kita perlu mengubah batas-batas integral:
Ketika $x = 1$, maka $u = 5 - 1 = 4$.
Ketika $x = 4$, maka $u = 5 - 4 = 1$.

Sekarang, substitusikan $u$ dan $dx$ ke dalam integral:
$\int_{1}^{4} f(5-x) dx = \int_{4}^{1} f(u) (-du)$

Kita dapat mengeluarkan tanda negatif dari integral:
$= -\int_{4}^{1} f(u) du$

Menggunakan sifat integral $\int_{a}^{b} f(x) dx = -\int_{b}^{a} f(x) dx$, kita dapat menukar batas integral:
$= -(-\int_{1}^{4} f(u) du)$
$= \int_{1}^{4} f(u) du$

Karena variabel dalam integral tidak mempengaruhi hasilnya, $\int_{1}^{4} f(u) du$ sama dengan $\int_{1}^{4} f(x) dx$.

Kita sudah diberikan bahwa $\int_{1}^{4} f(x) dx = 6$.

Jadi, nilai dari $\int_{1}^{4} f(5-x) dx = 6$.

Penjelasan langkah demi langkah:
1.  **Identifikasi integral yang diberikan:** $\int_{1}^{4} f(x) dx = 6$.
2.  **Identifikasi integral yang dicari:** $\int_{1}^{4} f(5-x) dx$.
3.  **Gunakan substitusi:** Misalkan $u = 5 - x$.
4.  **Hitung diferensial:** $du = -dx$, atau $dx = -du$.
5.  **Ubah batas integral:** Saat $x=1, u=4$. Saat $x=4, u=1$.
6.  **Substitusikan ke dalam integral:** $\int_{4}^{1} f(u) (-du)$.
7.  **Gunakan sifat integral:** $- \int_{4}^{1} f(u) du = \int_{1}^{4} f(u) du$.
8.  **Sesuai dengan integral yang diberikan:** $\int_{1}^{4} f(u) du = \int_{1}^{4} f(x) dx = 6$.

Jadi, nilai integralnya adalah 6.