Himpunan penyelesaian persamaan 6log(x^2-2x-3) = 6log(x-2)

Himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong karena tidak ada solusi yang memenuhi syarat numerus.

Pembahasan

Diberikan persamaan logaritma: $6log(x^2-2x-3) = 6log(x-2) + 6log(x+3)$.

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma, basis logaritma harus sama, dan argumen logaritma harus positif.

Syarat numerus (argumen logaritma) positif:
1.  $x^2 - 2x - 3 > 0$
    $(x-3)(x+1) > 0$
    Ini berlaku jika $x < -1$ atau $x > 3$.

2.  $x - 2 > 0$
    $x > 2$.

3.  $x + 3 > 0$
    $x > -3$.

Irisan dari ketiga syarat numerus positif adalah $x > 3$.

Sekarang, kita selesaikan persamaannya:
$6log(x^2-2x-3) = 6log((x-2)(x+3))$
$6log(x^2-2x-3) = 6log(x^2 + 3x - 2x - 6)$
$6log(x^2-2x-3) = 6log(x^2 + x - 6)$

Karena basis logaritma sama, maka numerusnya juga harus sama:
$x^2 - 2x - 3 = x^2 + x - 6$
$-2x - 3 = x - 6$
$-2x - x = -6 + 3$
$-3x = -3$
$x = 1$

Namun, kita harus memeriksa apakah solusi $x=1$ memenuhi syarat numerus positif, yaitu $x > 3$. Karena $1$ tidak lebih besar dari $3$, maka $x=1$ bukanlah solusi yang valid.

Mari kita periksa kembali persamaan logaritma:
$6log(x^2-2x-3) = 6log(x-2) + 6log(x+3)$
Menggunakan sifat logaritma $log a + log b = log(ab)$, maka:
$6log(x^2-2x-3) = 6log((x-2)(x+3))$
$6log(x^2-2x-3) = 6log(x^2 + x - 6)$

Karena basis logaritma sama (yaitu 6), maka argumennya harus sama:
$x^2 - 2x - 3 = x^2 + x - 6$
$-2x - 3 = x - 6$
$-3x = -3$
$x = 1$

Sekarang kita cek syarat numerus:
1. $x^2 - 2x - 3 > 0 
ightarrow (x-3)(x+1) > 0 
ightarrow x < -1$ atau $x > 3$.
2. $x - 2 > 0 
ightarrow x > 2$.
3. $x + 3 > 0 
ightarrow x > -3$.

Irisan dari ketiga syarat tersebut adalah $x > 3$.

Karena solusi yang kita dapatkan adalah $x = 1$, yang tidak memenuhi syarat $x > 3$, maka persamaan logaritma ini tidak memiliki solusi yang memenuhi syarat numerus.

Oleh karena itu, himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong.