Hitunglah lim x ->-3 {f(x)-f(3)}/(3-x) untuk setiap fungsi

0

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menghitung limit dari suatu fungsi yang berbentuk $\frac{f(x)-f(a)}{a-x}$ saat $x \to a$. Bentuk ini terkait dengan definisi turunan.

Limit yang diberikan adalah: $\lim_{x \to -3} \frac{f(x)-f(3)}{3-x}$
Fungsi yang diberikan adalah $f(x) = -9/x^2$.

Pertama, mari kita substitusikan $f(x)$ ke dalam ekspresi limit:
$f(3) = -9/(3^2) = -9/9 = -1$

Maka, ekspresi di dalam limit menjadi:
$\frac{f(x)-f(3)}{3-x} = \frac{(-9/x^2) - (-1)}{3-x} = \frac{-9/x^2 + 1}{3-x}$

Untuk menyederhanakan, kita samakan penyebut di bagian atas:
$\frac{(-9 + x^2)/x^2}{3-x} = \frac{x^2 - 9}{x^2(3-x)}$

Kita tahu bahwa $x^2 - 9$ adalah selisih kuadrat, yang dapat difaktorkan menjadi $(x-3)(x+3)$.
Jadi, ekspresinya menjadi:
$\frac{(x-3)(x+3)}{x^2(3-x)}$

Perhatikan bahwa $(x-3)$ berlawanan tanda dengan $(3-x)$. Kita bisa menulis $(x-3) = -(3-x)$.
$\frac{-(3-x)(x+3)}{x^2(3-x)}$

Kita bisa membatalkan faktor $(3-x)$ (dengan asumsi $x \neq 3$):
$rac{-(x+3)}{x^2}$

Sekarang kita hitung limitnya saat $x \to -3$:
$\lim_{x \to -3} \frac{-(x+3)}{x^2}$

Substitusikan $x = -3$ ke dalam ekspresi yang disederhanakan:
$rac{-(-3+3)}{(-3)^2} = \frac{-(0)}{9} = \frac{0}{9} = 0$

Jadi, hasil dari limit tersebut adalah 0.

Metode Alternatif menggunakan Definisi Turunan:
Limit dapat ditulis ulang sebagai:
$\lim_{x \to -3} \frac{f(x)-f(3)}{-(x-3)} = \lim_{x \to -3} - \frac{f(x)-f(3)}{x-3}$

Ini adalah $-1$ dikalikan dengan turunan dari $f(x)$ pada $x=3$, yaitu $-f'(3)$.

Mari kita cari turunan dari $f(x) = -9x^{-2}$.
$f'(x) = -9 \cdot (-2) x^{-2-1} = 18 x^{-3} = \frac{18}{x^3}$

Sekarang kita hitung $f'(-3)$:
$f'(-3) = \frac{18}{(-3)^3} = \frac{18}{-27} = -\frac{2}{3}$

Jadi, hasil limit adalah $-1 \times f'(-3) = -1 \times (-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$.

Mari kita periksa kembali perhitungan awal.
$rac{x^2 - 9}{x^2(3-x)}$
Limitnya adalah $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x^2(3-x)}$
Substitusi langsung $x = -3$: $\frac{(-3)^2 - 9}{(-3)^2(3-(-3))} = \frac{9-9}{9(6)} = \frac{0}{54} = 0$.

Terdapat kesalahan dalam interpretasi soal. Soal meminta $\lim_{x \to -3} \frac{f(x)-f(3)}{3-x}$.

Kita perlu menghitung $\frac{f(x)-f(3)}{3-x}$ dengan $f(x) = -9/x^2$ dan $x \to -3$.

$f(x) = -9/x^2$
$f(3) = -9/(3^2) = -9/9 = -1$

Limitnya adalah $\lim_{x \to -3} \frac{(-9/x^2) - (-1)}{3-x}$
$= \lim_{x \to -3} \frac{-9/x^2 + 1}{3-x}$
$= \lim_{x \to -3} \frac{(-9 + x^2)/x^2}{3-x}$
$= \lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x^2(3-x)}$

Substitusikan $x = -3$:
$= \frac{(-3)^2 - 9}{(-3)^2 (3 - (-3))}$
$= \frac{9 - 9}{9 (3 + 3)}$
$= \frac{0}{9 	imes 6}$
$= \frac{0}{54}$
$= 0$

Nilai limitnya adalah 0.