Hitunglah nilai limit berikut ini.limit x mendekati tak

-1/2

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x-2} - x - 2)$, kita dapat menggunakan metode mengalikan dengan bentuk sekawan.

Pertama, kita kelompokkan suku-suku:
$\lim_{x \to \infty} ((\sqrt{x^2+3x-2}) - (x+2))$

Kalikan dengan bentuk sekawannya, yaitu $(\sqrt{x^2+3x-2}) + (x+2)$: 

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+3x-2} - (x+2))(\sqrt{x^2+3x-2} + (x+2))}{(\sqrt{x^2+3x-2} + (x+2))}$

= $\lim_{x \to \infty} \frac{(x^2+3x-2) - (x+2)^2}{(\sqrt{x^2+3x-2} + (x+2))}$

= $\lim_{x \to \infty} \frac{(x^2+3x-2) - (x^2+4x+4)}{(\sqrt{x^2+3x-2} + (x+2))}$

= $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+3x-2 - x^2-4x-4}{(\sqrt{x^2+3x-2} + (x+2))}$

= $\lim_{x \to \infty} \frac{-x-6}{(\sqrt{x^2+3x-2} + (x+2))}$

Untuk $x \to \infty$, kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu x (atau $\sqrt{x^2}$):

= $\lim_{x \to \infty} \frac{-x/x - 6/x}{(\sqrt{x^2/x^2 + 3x/x^2 - 2/x^2} + x/x + 2/x)}$

= $\lim_{x \to \infty} \frac{-1 - 6/x}{(\sqrt{1 + 3/x - 2/x^2} + 1 + 2/x)}$

Saat $x \to \infty$, suku-suku yang memiliki x di penyebut akan mendekati 0:

= $\frac{-1 - 0}{(\sqrt{1 + 0 - 0} + 1 + 0)}$

= $\frac{-1}{(\sqrt{1} + 1)}$

= $\frac{-1}{(1 + 1)}$

= $\frac{-1}{2}$

Jadi, nilai limitnya adalah -1/2.