Hitunglah nilai limit berikut:limit x mendekati tak hingga

3

Pembahasan

Untuk menghitung limit dari $\sqrt{x^2+x+7} - \sqrt{x^2-5x+1}$ saat x mendekati tak hingga, kita dapat mengalikan dengan konjugatnya:

$$ \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+x+7} - \sqrt{x^2-5x+1}) $$ 

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+x+7} - \sqrt{x^2-5x+1})(\sqrt{x^2+x+7} + \sqrt{x^2-5x+1})}{\sqrt{x^2+x+7} + \sqrt{x^2-5x+1})} $$ 

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2+x+7) - (x^2-5x+1)}{\sqrt{x^2+x+7} + \sqrt{x^2-5x+1})} $$ 

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+x+7 - x^2+5x-1}{\sqrt{x^2+x+7} + \sqrt{x^2-5x+1})} $$ 

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{6x+6}{\sqrt{x^2+x+7} + \sqrt{x^2-5x+1})} $$ 

Untuk menyederhanakan lebih lanjut, kita bagi pembilang dan penyebut dengan x (atau $\sqrt{x^2}$ karena x mendekati tak hingga):

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6x}{x}+\frac{6}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+x+7}}{\sqrt{x^2}} + \frac{\sqrt{x^2-5x+1}}{\sqrt{x^2}})} $$ 

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{6+\frac{6}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}} + \sqrt{1-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}})} $$ 

Karena x mendekati tak hingga, suku-suku yang memiliki 1/x atau 1/x^2 akan mendekati 0:

$$ = \frac{6+0}{\sqrt{1+0+0} + \sqrt{1-0+0}} $$ 

$$ = \frac{6}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} $$ 

$$ = \frac{6}{1+1} $$ 

$$ = \frac{6}{2} $$ 

$$ = 3 $$