Hitunglah persamaan lingkaran yang menyinggung garis 6x +

Persamaan lingkarannya adalah (x - 3)² + (y + 4)² = 0,16 atau x² + y² - 6x + 8y + 24,84 = 0.

Pembahasan

Untuk menghitung persamaan lingkaran yang menyinggung garis 6x + 8y + 10 = 0 dan berpusat di lingkaran x² + y² - 6x + 8y - 19 = 0, kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1.  **Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang diketahui:**
    Lingkaran x² + y² - 6x + 8y - 19 = 0 dapat diubah ke bentuk standar (x - h)² + (y - k)² = r² dengan melengkapi kuadrat.
    (x² - 6x) + (y² + 8y) = 19
    (x² - 6x + 9) + (y² + 8y + 16) = 19 + 9 + 16
    (x - 3)² + (y + 4)² = 44
    Jadi, pusat lingkaran pertama (P1) adalah (3, -4) dan jari-jarinya (r1) adalah √44.

2.  **Tentukan jarak dari pusat lingkaran pertama ke garis singgung:**
    Jarak dari titik (x₀, y₀) ke garis Ax + By + C = 0 adalah d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).
    Pusat P1 = (3, -4) dan garisnya adalah 6x + 8y + 10 = 0.
    d = |6(3) + 8(-4) + 10| / √(6² + 8²)
    d = |18 - 32 + 10| / √(36 + 64)
    d = |-4| / √100
    d = 4 / 10 = 0,4

3.  **Tentukan jari-jari lingkaran baru (yang menyinggung garis):**
    Karena lingkaran yang dicari menyinggung garis 6x + 8y + 10 = 0, jarak dari pusatnya ke garis ini sama dengan jari-jari lingkaran tersebut. Namun, soal ini menyatakan "menyinggung garis ... berpusat di lingkaran ...". Ini menyiratkan bahwa lingkaran yang dicari berpusat pada lingkaran yang diketahui, tetapi pusatnya bukan di (3,-4). Asumsi yang lebih masuk akal adalah lingkaran yang dicari memiliki pusat yang sama dengan lingkaran yang diketahui (yaitu (3, -4)) dan menyinggung garis tersebut.
    Dalam kasus ini, jari-jari lingkaran baru (r2) adalah jarak dari pusat (3,-4) ke garis 6x + 8y + 10 = 0, yaitu r2 = 0,4.

4.  **Tuliskan persamaan lingkaran yang baru:**
    Dengan pusat (h, k) = (3, -4) dan jari-jari r2 = 0,4, persamaan lingkaran adalah:
    (x - h)² + (y - k)² = r2²
    (x - 3)² + (y - (-4))² = (0,4)²
    (x - 3)² + (y + 4)² = 0,16
    Jika dijabarkan:
    x² - 6x + 9 + y² + 8y + 16 = 0,16
    x² + y² - 6x + 8y + 25 - 0,16 = 0
    x² + y² - 6x + 8y + 24,84 = 0