integral x(ax^2+b)^n dx=...

(ax^2+b)^{n+1} / (2a(n+1)) + C

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral \(\	ext{integral } x(ax^2+b)^n dx\), kita dapat menggunakan metode substitusi.

Misalkan \(u = ax^2+b\).
Kemudian, kita cari diferensial dari \(u\) terhadap \(x\): \(du/dx = 2ax\).
Dari sini, kita dapat mengekspresikan \(dx\) dalam bentuk \(du\) dan \(x\):
\(du = 2ax dx\)
\(dx = du / (2ax)\)

Sekarang, substitusikan \(u\) dan \(dx\) ke dalam integral:
\(\	ext{integral } x(u)^n (du / (2ax))\)

Kita bisa menyederhanakan \(x\) dari pembilang dan penyebut:
\(\	ext{integral } (x / 2ax) * u^n du\)
\(\	ext{integral } (1 / 2a) * u^n du\)

Karena \(1/(2a)\) adalah konstanta, kita bisa mengeluarkannya dari integral:
\((1 / 2a) * \	ext{integral } u^n du\)

Sekarang kita integralkan \(u^n\) terhadap \(u\). Menggunakan aturan pangkat untuk integral \(\	ext{integral } u^n du = (u^{n+1})/(n+1) + C\), dengan syarat \(n \neq -1\).

\((1 / 2a) * (u^{n+1} / (n+1)) + C\)

Terakhir, substitusikan kembali \(u = ax^2+b\) ke dalam hasil integral:
\((1 / 2a) * ((ax^2+b)^{n+1} / (n+1)) + C\)

Ini dapat ditulis ulang sebagai:
\((ax^2+b)^{n+1} / (2a(n+1)) + C\)

Kasus khusus: Jika \(n = -1\), integralnya adalah \(\	ext{integral } (1/u) du = 	ext{ln}|u| + C\).
Jadi, jika \(n = -1\), integralnya adalah \((1 / 2a) * 	ext{ln}|ax^2+b| + C\).

Jawaban umum (untuk \(n \neq -1\)) adalah: \((ax^2+b)^{n+1} / (2a(n+1)) + C\).