Jika A=(1 2 1 3) dan B=(3 2 2 2) , tentukan hasil dari

$\begin{pmatrix} -6 & 0 \\ 3 & 9/2 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu melakukan operasi matriks yang melibatkan invers matriks. Diberikan matriks A dan B:
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$
$B = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

Kita perlu menghitung $A^{-1} B + A B^{-1}$.

Langkah 1: Hitung invers dari matriks A ($A^{-1}$).
Determinan dari A, det(A) = (1 * 3) - (2 * 2) = 3 - 4 = -1.
$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$.

Langkah 2: Hitung invers dari matriks B ($B^{-1}$).
Determinan dari B, det(B) = (3 * 2) - (2 * 2) = 6 - 4 = 2.
$B^{-1} = \frac{1}{det(B)} \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3/2 \end{pmatrix}$.

Langkah 3: Hitung $A^{-1} B$.
$A^{-1} B = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-3*3 + 2*2) & (-3*2 + 2*2) \\ (2*3 + -1*2) & (2*2 + -1*2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-9+4) & (-6+4) \\ (6-2) & (4-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -2 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$.

Langkah 4: Hitung $A B^{-1}$.
$A B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1*1 + 2*-1) & (1*-1 + 2*3/2) \\ (2*1 + 3*-1) & (2*-1 + 3*3/2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1-2) & (-1+3) \\ (2-3) & (-2+9/2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 5/2 \end{pmatrix}$.

Langkah 5: Hitung $A^{-1} B + A B^{-1}$.
$A^{-1} B + A B^{-1} = \begin{pmatrix} -5 & -2 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 5/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-5 + -1) & (-2 + 2) \\ (4 + -1) & (2 + 5/2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 0 \\ 3 & 9/2 \end{pmatrix}$.

Hasil dari $A^{-1} B + A B^{-1}$ adalah matriks $\begin{pmatrix} -6 & 0 \\ 3 & 9/2 \end{pmatrix}$.