Jika a dan b bilangan bulat sehingga (2010+2(2009^1/2))^1/2

-2010

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah x^2+ax+b=0, di mana a dan b adalah bilangan bulat.
Salah satu solusi persamaan tersebut adalah (2010+2(2009^1/2))^1/2.

Mari kita sederhanakan solusi tersebut:
(2010 + 2 * sqrt(2009))^1/2

Kita perlu mengenali bahwa bentuk ini mirip dengan (sqrt(p) + sqrt(q))^2 = p + q + 2*sqrt(p*q).
Jika kita mengasumsikan bahwa 2010 = p + q dan 2009 = p*q, kita mencari dua bilangan yang jumlahnya 2010 dan hasil kalinya 2009.

Perhatikan bahwa 2009 = 7^2 * 41. Tidak ada pasangan faktor dari 2009 yang jumlahnya 2010.

Mari kita coba bentuk lain: (sqrt(p) + q)^2 = p + q^2 + 2*q*sqrt(p).
Ini juga tidak cocok.

Mari kita coba bentuk (p + sqrt(q))^2 = p^2 + q + 2*p*sqrt(q).
Jika kita bandingkan dengan (2010+2(2009^1/2))^1/2, kita bisa mengasumsikan bahwa:
p^2 = 2010
2*p*sqrt(q) = 2*sqrt(2009) => p*sqrt(q) = sqrt(2009)

Dari p^2 = 2010, p = sqrt(2010). Ini bukan bilangan bulat.

Kemungkinan ada kesalahan dalam soal atau cara interpretasi. Namun, jika kita mengasumsikan bentuknya adalah (a + sqrt(b))^2 = a^2 + b + 2a*sqrt(b).

Kita punya ekspresi (2010 + 2 * sqrt(2009))^1/2. 
Jika kita ingin ini menjadi bentuk (x + y)^2, maka kita perlu mencari dua bilangan yang jika dikuadratkan jumlahnya 2010 dan hasil kali keduanya dikalikan 2 adalah 2*sqrt(2009).

Mari kita lihat jika 2009 memiliki faktor kuadrat. 2009 = 7 * 287 = 7 * 7 * 41 = 49 * 41.
Jadi, sqrt(2009) = sqrt(49 * 41) = 7 * sqrt(41).

Ekspresi menjadi (2010 + 2 * 7 * sqrt(41))^1/2 = (2010 + 14 * sqrt(41))^1/2.

Ini masih belum mengarah ke bentuk kuadrat sempurna yang mudah.

Mari kita pertimbangkan jika bentuknya adalah (sqrt(a) + sqrt(b))^2 = a + b + 2*sqrt(ab).
Kita punya (2010 + 2*sqrt(2009))^1/2. Maka kita ingin mencari a dan b sedemikian sehingga:
a + b = 2010
ab = 2009

Kita mencari dua bilangan yang jumlahnya 2010 dan hasil kalinya 2009. Bilangan-bilangan tersebut adalah akar-akar dari persamaan kuadrat t^2 - 2010t + 2009 = 0.
(t - 1)(t - 2009) = 0.
Jadi, a = 2009 dan b = 1 (atau sebaliknya).

Maka, (2010 + 2*sqrt(2009))^1/2 = (sqrt(2009) + sqrt(1))^2 ^ 1/2 = sqrt(2009) + 1.

Solusi persamaan x^2+ax+b=0 adalah x = sqrt(2009) + 1.
Namun, diberikan bahwa a dan b adalah bilangan bulat. Jika x = sqrt(2009) + 1 adalah solusi, maka substitusikan ke dalam persamaan:
(sqrt(2009) + 1)^2 + a(sqrt(2009) + 1) + b = 0
(2009 + 2*sqrt(2009) + 1) + a*sqrt(2009) + a + b = 0
2010 + 2*sqrt(2009) + a*sqrt(2009) + a + b = 0
(2010 + a + b) + (2 + a)*sqrt(2009) = 0

Agar persamaan ini bernilai nol, kedua bagian (rasional dan irasional) harus bernilai nol.
2 + a = 0  => a = -2
2010 + a + b = 0 => 2010 + (-2) + b = 0 => 2008 + b = 0 => b = -2008.

Karena a dan b adalah bilangan bulat, ini adalah solusi yang valid.
Kita diminta untuk mencari nilai a + b.
a + b = -2 + (-2008) = -2010.

Jadi, nilai a+b adalah -2010.